Fonction dépendant d'un paramètre -Intégrale

Bonjour,

On s'intérresse par une suite Im définie sur N/{0} par $Im=∫01(3x+3e−xm)dxI_m=\displaystyle\int_{0}^{1} ( 3x+3e^{-xm})dx$ .

Dans le plan (O;i;j) pour tout entier naturel m, on note Cm la courbe représentative de la fonction $f_m(x)=3x+3e^{-xm}$

Ecrire $I_{m+1}-I_m$ sous la forme d'une seule intégrale factorisée

Relation mise en forme Latex par la modération.

Bonjour mimims,

Ecris et simplifie l'expression $f_{m+1}(x)-f_m(x)$ .

@Noemi C'est-ce que je fais mais j'obtiens 3e^(-xm)(1-e^-x)

@mimims

Un problème de signe :
$f_{m+1}(x) - f_m(x) = 3e^{-x(m+1)} - 3e^{-xm} = 3e^{-xm}(e^{-x}-1)$
d'où
$Im+1−Im=∫013e−xm(e−x−1))dxI_{m+1}-I_m=\displaystyle\int_{0}^{1} 3e^{-xm}(e^{-x}-1))dx$ .

@Noemi et il demande d'écrire Im en fonction de m pouvez vous m'aider?

@mimims

Calcule l'intégrale .

Une primitive de $3 x$ est $32x2\dfrac{3}{2}x^2$ .

Une primitive de $3e^{-xm}$ est $−3me−xm-\dfrac{3}{m}e^{-xm}$ .

@Noemi d'accord je vois merci

@mimims

Il te reste à remplacer $x$ par 1 puis par 0.

@Noemi pour une fontion Im=intégralede 0 à 1 (-1-9x-3e^-3mx)dx je fais sa primitive

Je la note Fm= -x-9/2x^2-e^-3xm c'est ça ?

@mimims

J'ai indiqué les primitives de chacun des termes.
$Fm=[32x2−3me−xm+cte]01F_m=[\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{3}{m}e^{-xm} + cte]_0^1$ .

@Noemi c'est plus la même consigne pardon c'est pour fm=-1-9x-3e^-3mx

@mimims

$Fm=[32x2−3me−xm+cte]01F_m=[\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{3}{m}e^{-xm} + cte]_0^1$ .

$Fm=[32x2−3me−xm]01F_m=[\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{3}{m}e^{-xm} ]_0^1$ .

$Fm=[(32−3me−m)−(0−3m)]F_m=[(\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{m}e^{-m}) -(0-\dfrac{3}{m})]$ .

$Fm=32+3m−3me−mF_m=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{m}-\dfrac{3}{m}e^{-m}$ .

Tu calcules la limite pour quelle valeur de $m$ ?

@Noemi j'ai réctifié et j'ai trouvé -11/2 -3/2e^-3m+3/m

@mimims

Si c'est un nouveau exercice, il est préférable de proposer un autre sujet.

Une primitive de $f_m(x)=-1-9x-3e^{-3mx}$

est $Fm(x)=−x−92x2+1me−3mxF_m(x)=-x-\dfrac{9}{2}x^2+\dfrac{1}{m}e^{-3mx}$

@Noemi c'est le même type on a juste Im=intégrale0 à 1 (-1-9x-3e^-3xm)dx et fm=-1-9x-3e^-3mx

@mimims

J'ai indiqué une primitive, il te reste à faire le calcul en utilisant les bornes et vérifier ton erreur.

Bonjour,

Vu que @mimims n'a pas l'air d'y arriver, je calcule

$I=∫01(−1−9x−3e−3mx)dx\displaystyle I=\int_0^1(-1-9x-3e^{-3mx})dx$

$I=[−x−92x+1me−3mx]01I=\biggl[-x-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{1}{m}e^{-3mx}\biggl]_0^1$

$I=(−1−12+1me−3m)−(−0−920+1m)I=\biggl(-1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{m}e^{-3m}\biggl)-(-0-\dfrac{9}{2}0+\dfrac{1}{m}\biggl)$

$I=(−1−12+1me−3m)−(1m)I=\biggl(-1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{m}e^{-3m}\biggl)-\biggl(\dfrac{1}{m}\biggl)$

$I=−112+1m(e−3m−1)\boxed{I=\dfrac{-11}{2}+\dfrac{1}{m}(e^{-3m}-1)}$

Conséquence,

$lim⁡m→+∞I=−112\boxed{\displaystyle \lim_{m\to +\infty}I=-\dfrac{11}{2}}$

Bon travail @mimims , malgré la situation très compliquée.