Quel est la nature de un+1 = (1/4)un+3

Bonjour ; on nous pose un+1 = (1/4)un+3
La suite est-elle arithmétique ou géométrique ?
Je n'y arrive pas vraiment car pn peut voir une multiplication et une somme .

Bonjour Iryezuu,

Comment démontre t-on qu'une suite est arithmétique ?
géométrique ?

@Noemi en faisant un+1 - un ?

@Iryezuu est le résultat doit être la raison sauf que ducoup je ne voit pas vraiment comment savoir quel est un vu qu'il est a l'interieur de un+1

@Iryezuu

Oui
Si $u_{n+1}-u_n=r$ la suite $u_n$ est arithmétique de raison $r$ .

$un+1−un=14un+3−un=−34un+3u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{4}u_n + 3 - u_n = -\dfrac{3}{4}u_n + 3$
donc la suite n'est pas ....

Si $un+1un=q\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ la suite est géométrique de raison q.

$un+1un=.....\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = .....$

Complète les ......

@Noemi
...n'est pas arithmétique.
...un+1 / un = [(1/4)un+3]/un

@Iryezuu

Oui
Si $u_{n+1}-u_n=r$ , ( $r$ un réel) la suite $u_n$ est arithmétique de raison $r$ .

$un+1−un=14un+3−un=−34un+3u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{4}u_n + 3 - u_n = -\dfrac{3}{4}u_n + 3$
donc la suite n'est pas arithmétique.

Si $un+1un=q\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ , ( $q$ un réel) la suite est géométrique de raison $q$ .

$un+1un=14+3un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{u_n}$
donc la suite n'est pas .....

@Noemi
GEOMETRIQUE ! merci beaucoup

@Iryezuu

Tu as compris le raisonnement ?

@Noemi
oui merci tout a fait

@Iryezuu

C'est bien.
A+ si tu le souhaites.

Bonjour,

Quelques réflexions,

Comme l'a expliqué @Noemi pour répondre à la question d'@Iryezuu , cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Si l'on veut compléter l'étude, cette suite étant "arithmético-géométrique", bien que l'énoncé ne le demande pas, cela est possible.
Vu qu'en ce moment les demandeurs n'ont pas de cours, pour consultation éventuelle, je complète.

Question complémentaire :
Pour tout n de N, $Un+1=14Un+3U_{n+1}=\dfrac{1}{4}U_n+3$ et $U_0=1$
Soit $V_n=U_n-4$
Démontrer que (V_n) est géométrique
En déduire l'expression de $V_n$ puis de $U_n$ en fonction de n, puis la convergence de $U_n$ )

Piste de réponse :
$Vn+1=Un+1−4=14Un+3−4=14Un−1V_{n+1}=U_{n+1}-4=\dfrac{1}{4}U_n+3-4=\dfrac{1}{4}U_n-1$

$Vn+1=14(Vn+4)−=14Vn+1−1=14VnV_{n+1}=\dfrac{1}{4}(V_n+4)-=\dfrac{1}{4}V_n+1-1=\dfrac{1}{4}V_n$

$V_n)$ est géométrique de raions $q=14q=\dfrac{1}{4}$

$V_0=U_1-4=1-4=-3$

$Vn=V0qn=−3(14)nV_n=V_0q^n=-3\biggl(\dfrac{1}{4}\biggl)^n$

$Un=Vn+4=−3(14)n+4U_n=V_n+4=\boxed{-3\biggl(\dfrac{1}{4}\biggl)^n+4}$

$lim⁡n→+∞Vn=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}V_n=0$ (car raison $14\dfrac{1}{4}$ )

Donc $lim⁡n→+∞Un=4\boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=4}$

La suite $U_n)$ converge vers 4.

Bonne lecture