Suite, je bloque surtout pour la 3a et la 3b

On considere un definie par u0=1 et un+1 = (1/4)un+3

calculer u1 et u2
j'ai mit :
u1 = (1/4)xu0+3 = (1/4)x1+3 = 13/4 = 3,25
u2 =(1/4)xu1+3 = (1/4)x3,25+3 = 3,8125
La suite un est-t-elle arithmetique ou geometrique ?
Vous m'avez deja repondu pour cette question (merci)

3)on definit pour tout entier naturel , vn = un - 4
a) demontrer que vn est géometrique dont on determinera la raison et v0 :
ET la je bloque car je ne vois pas en quoi elle est géometrique car on a un - devant un
b) Exprimer vn , puis un en fonction de n
je ne vois pas vraiment comment determiner un sachant que la suite n'est ni arithmetique ni géometrique , savoir un ,je pense , me debloquera pour trouver vn
4 ) quel est le sens de variation de un
pour ca je pense savoir : je doisfaire un+1 - un et avec le resultat je resout l'equation un+1-un >ou= 0 et le resultat trouver correspond au debut de la variation de un
5)quel semble etre la limite de un ? expliquez votre conjecture .
je compte effectuer le calcul pour tout les u jusqua u5 et en deduire la limite +infini ou -infini

Je bloque surtout a la 3a et 3b aidez moi svp .

Bonsoir Iryezuu,

Question 3) a)
$v_{n+1} = u_{n+1} - 4$
$vn+1=14un+3−4=14un−1v_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_{n}+3 - 4 = \dfrac{1}{4}u_{n} - 1$
Tu remplaces maintenant $u_n=v_n+4$
....

@Noemi de quel exercice parlez vous ? car je vous avoue que je ne voit pas vraiment ou vous voulez en venir

@Iryezuu

C'est la question 3, Poursuis le calcul.

@Noemi
un= (un-4)+4 ?

@Iryezuu

$vn+1=14un−1v_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_{n} - 1$
Or $u_n=v_n+4$
$vn+1=14(vn+4)−1v_{n+1} = \dfrac{1}{4} (v_{n}+4) - 1$

$vn+1=14vn+1−1v_{n+1} = \dfrac{1}{4}v_{n} +1 - 1$

$vn+1=14vnv_{n+1} = \dfrac{1}{4}v_{n}$

Je te laisse conclure

@Noemi
vn est donc bien géometrique de raison 1/4 mais la premier terme je n'arrive pas vraiment à le reperer v0

@Iryezuu

Comme
$v_n=u_n-4$
$v_0=u_0-4$
et $u_0= 1$ , donc
....

@Noemi v0 = 1-4 = -3

@Iryezuu

oui, passe à la question b)
Tu déduis $v_n$ en fonction de $n$
puis $u_n$ en fonction de $n$ .

@Noemi alors pour vn :
vn= -3 x (1/4)
et
un = 1 x ... Je ne trouve pas la raison de un

@Iryezuu

$vn=−3×(14)nv_n=-3\times( \dfrac{1}{4})^n$

$u_n=v_n+4$

$un=−3×(14)n+4u_n=-3\times( \dfrac{1}{4})^n + 4$

Question 4)
Cherche le signe de $u_{n+1}-u_n = ....$

@Noemi
{-3 x (1/4)n^n +4

@Noemi dsl faute de frappe

@Iryezuu (-3 x (1/4)n^n +4)-(-3 x (1/4)n^(n+1) +4)

@Iryezuu

$un+1−un=−3×(14)n+1+4−(−3×(14)n+4)u_{n+1}-u_n= -3\times( \dfrac{1}{4})^{n+1} + 4 - (-3\times( \dfrac{1}{4})^n + 4)$

$un+1−un=−3×(14)n+1+3×(14)nu_{n+1}-u_n= -3\times( \dfrac{1}{4})^{n+1} +3\times( \dfrac{1}{4})^n$

$un+1−un=−3×(14)n(14−1)u_{n+1}-u_n= -3\times( \dfrac{1}{4})^{n}(\dfrac{1}{4} - 1)$

Simplifie l'expression et détermine son signe.

@Noemi = -3 x (1/4)n^n x (-(3/4))
= 3 x (1/4n^n) x 3/4
= 9/4n^n+1 ?

@Iryezuu

$un+1−un=−3×(14)n(14−1)u_{n+1}-u_n= -3\times( \dfrac{1}{4})^{n}(\dfrac{1}{4} - 1)$

$un+1−un=94×(14)nu_{n+1}-u_n= \dfrac{9}{4}\times( \dfrac{1}{4})^{n}$

Le signe est ....... donc la suite est .......

@Noemi le signe est positif donc la suite est croissante mais on ne devrait pas demontrer a partir de quel point ?

@Iryezuu

Non, la question est juste le sens de variation.

Pour la question 5,

A partir de $un=−3×(14)n+4u_n = -3\times (\dfrac{1}{4})^n + 4$
Tu conjectures la limite.

@Noemi u1 = 13/4 = 3,25
u2 = 61/16 = 3, 81
u3 =253/64 = 3,95
u4= 1021/256 = 3,98
u5 = 4093/1024 = 3,99
donc la suite se dirige vers 4

@Iryezuu

Oui la suite tend vers 4 car $(14)n(\dfrac{1}{4})^n$ tend vers 0.

@Noemi et on me pose aussi une derniere question on me demande de calculer Sn en fonction de n (j'avai oublier de l

@Iryezuu

Je suppose que c'est la somme de $u_n$ .
$S_n$ est la somme des termes de la suite $v_n$ + $4 (n + 1)$

@Noemi c'est a dire j'ai pas tres bien compris je dois faire la somme de vn + 4(n+1) ????

@Iryezuu
La somme des termes de la suite $v_n$ + $4 (n + 1)$ .
soit $v_0 + v_1 + .... + v_n + 4(n+1)$
$v_n$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=-3$ et de raison $\dfrac{1}{4}$

la somme de ses termes est : $Sn=−3(1−(14)n+11−14)S_n=-3(\dfrac{1-(\dfrac{1}{4})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}})$

Simplifie cette expression

@Noemi j'ai simplifier et j'ai trouver (1-4n^(n+1)-1)/(4n^n)

@Iryezuu

Non
$Sn=−3(1−(14)n+11−14)S_n=-3(\dfrac{1-(\dfrac{1}{4})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{4}})$

$Sn=−4(1−(14)n+1)S_n=-4(1-(\dfrac{1}{4})^{n+1})$

La somme totale est : $Sn′=−4(1−(14)n+1)+4(n+1)=(14)n+4nS'_n=-4(1-(\dfrac{1}{4})^{n+1}) +4(n+1) = (\dfrac{1}{4})^n+ 4n$

@Noemi merci infiniment ! je voulais juste revenir a l'histoire sur la question 3 de l'ex 1 j'ai fait comme vous me l'aviez supposez la somme des termes de chaque propositions mais je tombe sur :
Sa = 248600000
et Sb = (1-23359,51)/(1-22569,58) =0,035

@Iryezuu

Vérifie tes calculs en utilisant les formules que tu as trouvé pour la somme.
$S_{10} = 209\ 000$ et
$T_{10} = 210\ 271,87$

$000S_{10} =300 \times 10^2 + 16\ 300\times 10+16\ 000 = 209\ 000$
et
$271,87T_{10}=16\ 000\times \dfrac{1-1,035^{11}}{1-1,035}=210\ 271,87$

Je te laisse conclure.

@Noemi la formule pour Sa c'est bien =(a10(a11))/2
= (22000(22600))/2
=248600000
et pour Sb c'est bien (1-q11)/(1/q10)
= (1-23359,51)/(1-22569,58)
= 0,035
???

@Iryezuu

J'ai noté le détail des calculs dans le post précédent.

Bonne nuit