Arithmétique dans Z ( divisibilité )

Salut, je suis bloquée dans deux questions dans l'arithmétique dans Z:

trouver les entiers naturels n tels que 1092 divise n^13 - n (j'ai déjà montré que n^13-n congrue à 0 [546])
J'ai pensé à appliquer la propriété (a|c et b|c (avec PGDC (a, b)=1)) => ab|c) puisqu'on a 1092= 546×2 et 2 divise n^13 -n. Mais le problème c'est que les PGCD de 2 et 546 n'est pas égal à 1.
montrer que pour tout (k,p) appartenant à N^2: (10^(p) -1) divise (10^(kp) -1)

((Les deux questions sont indépendante))

Merci d'avance!

Bonjour Merys,

Comment as-tu procédé pour 546 ?
As-tu décomposé $n^{13}-n$ en un produit de facteurs ?

On a 546 =13×2×7

J'ai montré que n^13-n congrue à 0 modulo 13 en utilisant le théorème de Fermat
Puis on a n^13-n =n (n^12-n) =n (n^6-1)(n^6+1) et on a 7 divise n^6-1 (petit théorème de Fermat) ou 7/ (n^13-n)
Et pour 2 j'ai fais une disjonction de cas (n pair/ n impair) et dans les deux cas cela donne 2/n^13-n par suite 546 divise (n^13-n)

@Merys

Dans la décomposition de 546, il manque 3.

Tu aurais pu écrire $n^{13}-n = (n^7-n)(n^6+1)= (n^4-n)(n^3+1)(n^6+1)$
= $n^2-n)(n^2+n+1)(n^3+1)(n^6+1)$

Et alors??

@Merys

Tu sais que 2 divise $n^2-n$ comme 1092 = 546 x2,
il faut que 2 divise $n^2+n+1)(n^3+1)(n^6+1)$

Etudie les cas $n$ pair puis $n$ impair (disjonction de cas).

Oui mais si on démontre que 2/ n^13-n on ne peut rien conclure car 2 et 546 ne sont pas premiers entre eux. Non?
Je suis désolée mais je suis confuse.

@Merys

Tu sais que 2 divise $n^{13}-n$ car dans la factorisation, on trouve $n^2-n$ (petit théorème de Fermat).

Si tu étudies le cas ou $n$ est impair, tu dois trouver que $n^2+n+1$ est impair et que $n^3+1$ et $n^6+1$ sont pairs

Pour le cas $n$ pair, les trois derniers facteurs sont impairs.

Donc conclusion, $n$ doit être impair ou un multiple de 4.

Pour la deuxième question tu utilises la factorisation
$10^{kp}-1 = (10^p-1)(10^{(k-1)p}+10^{(k-2)p}+ …………… + 1)$

D'accord merci beaucoup!!

@Merys

Bien As-tu regardé les indications pour l'autre sujet ?

Ouii merci

@Merys

Bien
A+ si tu le souhaites.