Exercices sur les suites

Bonjour à tous, j’aurais besoin de votre aide pour mon devoir maison de maths. Merci beaucoup.

On pose Vn= Un-1
a. Pour tout entier naturel n, exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
b. Que peut-on en déduire pour la suite (Vn) ?
c. Exprimer Vn en fonction de n

Exprimer Un en fonction de n. En déduire la limite de la suite (Un).

@Kahina AG,

Bonjour,

Je ne peux pas t'aider pour l'instant car il manque la formule de définition de la suite $u_n)$ , on en a besoin pour t'aider.
De plus, les questions telles que tu les as écrites sont-elles dans le bon ordre ? Je pense que oui, car cela ressemble à la structure classique, mais tu es sûre de ne pas t'être trompée ? Car j'inverserais bien les questions b) et c), pour que cela ait un peu plus de sens...

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@Kahina-AG
Normalement c'est donné. Sans l'expression par récurrence de la suite $u_n)$ et son premier terme $u_0$ (ou parfois $u_1$ ), on ne peut rien faire du tout...

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@Kahina-AG
C'est pour les 4 questions que tu as postées. Et demande-lui de vérifier si les questions b) et c) ne sont pas inversées.

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@Kahina-AG

Ah, c'est beaucoup mieux !
Tout d'abord, tu dois exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ . Est-ce que tu comprends la question ?

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@Kahina-AG
Retiens cette astuce : quand on te demande
"exprimer "machin" en fonction de "bidule" "
cela signifie
" trouver la formule de "machin" avec "bidule" comme unique lettre dedans".

Autrement dit, ici, on te demande de trouver la formule qui serait à la place des trois petits points dans
$v_{n+1} = ...$
et qui ne contient comme lettre que $v_n$ .

Essaie de proposer quelque chose !

@Kahina-AG
Si tu as du mal à démarrer, sache que de toute façon tu ne peux partir que de
$v_n=u_n-1$ .
Si cette formule est vraie pour toute valeur de $n$ positive ou nulle, que devient cette formule si tu remplaces les $n$ par des $n + 1$ ?

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@Kahina-AG
Exactement, à ceci près que c'est $v_{n+1}$ à gauche du = puisque tu as remplacé les $n$ par $n + 1$ . Et maintenant, tu peux remplacer $u_{n+1}$ par une formule que tu connais déjà, donnée dans l'énoncé.

Qu'obtiens-tu ?

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@Kahina-AG
Ah, dommage tu as confondu $v_{n+1}$ et $u_{n+1}$
C'est $u_{n+1}$ que tu dois remplacer par $3u_n-2$ , et non pas $v_{n+1}$ qui doit rester tout seul, à gauche du =, puisque c'est que tu veux à la fin.

Tu y es presque, recommence. Rappelons ce que tu as obtenu :
$v_{n+1}= u_{n+1} - 1$
Et maintenant, il faut que tu obtiennes quelque chose de la forme :
$v_{n+1}= ... - 1$ en remplaçant $u_{n+1}$ .

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@Kahina-AG
Et voilà, c'est bien mieux.

Maintenant, que faut-il faire quand on a une expression comme celle-là, à droite du = ?

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@Kahina-AG
Bien sûr. Apprends ce réflexe, essaie de te ramener à des expressions les plus simples possibles, en tout cas avec le moins de termes différents possible.

Vas-y, développe, puis réduis l'expression. Qu'obtiens-tu ?

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@Kahina-AG
Alors ta première ligne est presque juste, à un signe près : tu aurais dû obtenir
$v_{n+1}=(3u_n-2)-1$
$v_{n+1}=3u_n-2-1$ (on enlève simplement les parenthèses,
car il n'y a pas de nombre qui les multiplie ni de signe - devant)
$vn+1=3un−3\boxed {v_{n+1}=3u_n-3}$

Par contre, ta deuxième ligne, elle, est vraiment fausse je suis désolé...
Si je ne me trompe pas, tu as fait -3 + 3 = 0 dans ta tête. Et bien c'est absolument interdit ici, car le nombre qui multiplie $u_n$ ne peut pas se détacher pour s'additionner avec le nombre seul de droite. Si tu te rappelles de tes cours de 4ème sur le calcul avec des lettres, rappelle-toi que $3 u_n$ appartient à la famille de $u_n$ , alors que 3 appartient à la famille des nombres seuls : tu ne peux pas les "mélanger" avec une addition.

Bref, maintenant tu dois repartir de l'expression encadrée.
A la fin, pour conclure, je te rappelle que tu dois avoir quelque chose de la forme :
$v_{n+1}= ...$ avec $v_n$ comme seule lettre dans les 3 petits points.
Tu dois donc "transformer" l'expression $3u_n-3$ en quelque chose qui ne contient que du $v_n$ .

L'énoncé te donne ce que j'appelle une "formule de passage" entre $v_n$ et $u_n$ . Tu vas devoir la manipuler un peu pour changer le sens de cette égalité et avoir $u_n$ tout seul à gauche du = dans cette formule de passage, et t'en servir pour "injecter" ce que tu as trouvé à la place de $u_n$ dans l'expression encadrée.
Tu pars donc de
$v_n=u_n-1$
et tu dois obtenir
$u_n= ...$
Ce n'est pas difficile, mais il faut y penser.

Ce procédé est un énorme classique dans ce genre d'exercice, c'est toujours comme cela que ça marche, et ce sera aussi le cas l'année prochaine en Terminale. Alors je te conseille de bien mémoriser cette méthode !

Ce que tu as trouvé pour $u_n$ grâce à la formule de passage, je te laisse l"injecter" à la place de $u_n$ dans l'expression encadrée, puis développer et faire les simplifications. Vas-y, et la question a) sera terminée !

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@Kahina-AG
Bon je t'aide beaucoup alors. Mais j'ai vu que tu avais déjà été aidé hier par Noemi sur un exercice du même type, et comme je te dis c'est un immense classique, il faut absolument que tu mémorises ce procédé.

Voilà le détail des étapes, depuis le début :
$v_n=u_n-1$
$v_{n+1}=u_{n+1}-1$ (on est passé au rang $n + 1$ )
$v_{n+1}=(3u_n-2)-1$ (on a utilisé la formule de récurrence de la suite $u_n)$ pour remplacer $u_{n+1}$ )
$vn+1=3un−3\boxed{v_{n+1}=3u_n-3}$ (on a simplifié)

Maintenant on part de la formule de passage, que l'on change de sens, et on obtient
$u_n=v_n+1$ (on écrit la formule de passage "à l'envers")

C'est donc la formule $v_n+1$ que l'on doit injecter dans l'expression encadrée, à la place de $u_n$ .

On obtient alors :
$v_{n+1}=3(v_n+1)-3$ (on a injecté le résultat précédent à la place de $u_n$ )

Simplifie et réduis, qu'obtiens-tu ?

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@Kahina-AG
Rassure-toi, tu n'es pas le seul (ou la seule), c'est souvent le cas pour les élèves de 1ère. Prends en note les étapes que je t'ai écrites, avec les petites explications entre parenthèses, tu verras cela t'aidera beaucoup car c'est presque toujours la même méthode.

Ton résultat est tout à fait juste, c'est bon.

Et donc maintenant, question b) : Que peux-tu en déduire pour la suite $v_n)$ ? Autrement dit, que nous dit cette formule sur le genre de suite qu'est $v_n)$ ?

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@Kahina-AG

Ah... Raté, je suis désolé. C'est une suite géométrique, de raison 3...

Elle est géométrique car pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$ , il faut multiplier (ici par 3). Si elle avait été arithmétique, il aurait fallu additionner ou soustraire un nombre pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$ .

C'est la réponse à la question b) : $v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.

Maintenant il faut que tu utilises ton cours : quelle est la formule explicite d'une suite géométrique de raison 3 et de premier terme $v_0$ ?

@Kahina-AG

Sur ce, je te laisse y réfléchir pour demain. Bonne soirée !

@Kahina-AG
As-tu trouvé la formule explicite de la suite $v_n)$ ? Autrement dit, on cherche l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .

Si on utilise l'astuce que je t'ai déjà donnée, cela signifie que l'on cherche la formule de $v_n$ avec $v_0$ , la raison et uniquement du $n$ comme lettre dedans.

Ce sera donc de la forme :
$v_n= ...$ (avec uniquement $v_0$ , la raison et la lettre $n$ )

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@Kahina-AG
Et oui, c'est exactement ça.
Maintenant, il faut que tu calcules $v_0$ grâce à la formule de passage, en utilisant la valeur de $u_0$ , et tu auras alors la réponse à la question c).

Ensuite, en utilisant encore la formule de passage et en remplaçant $v_n$ par la formule que tu auras trouvée, tu pourras trouver la réponse à la dernière question.

Je te laisse faire tout cela, envoie ce que tu as trouvé si tu veux que je vérifie tes calculs.

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@Kahina-AG
Je te l'ai expliqué plus haut : ce que j'appelle la formule de passage, c'est la formule qui permet de passer de $u_n$ à $v_n$ et inverseement, et qui est toujours donnée dans le sujet : sans cette formule de passage, tu serais complètement bloquée.

Ici, la formule de passage est :
$v_n = u_n - 1$
C'est de cette formule que tu dois te servir pour calculer $v_0$ . On a fait les questions les plus difficiles, donc je te laisse chercher un peu pour les deux parties de la dernière question. Bon courage !

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Bonjour Kahina-AG,

Pour calculer la valeur de $v_0$ , tu remplaces dans la formule de passage, $n$ par 0,
Soit $v_0 =u_0 - 1$
Comme tu connais la valeur de $u_0$ , tu peux calculer $v_0$ .
$v_0 = .......$

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@Kahina-AG
Tout à fait. Tu as donc maintenant la formule explicite de $v_n$ dans son intégralité :
$vn=−14×3nv_n=-\frac{1}{4} \times 3^n$

Tu n'as plus qu'à remplacer $v_n$ par cette expression, dans la formule de passage, pour obtenir enfin l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ .

Poste ton résultat si tu veux qu'on le vérifie.

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@Kahina-AG
Non puisque la formule de passage c'est justement $u_n=v_n+1$ ! Tu viens de t'en servir à l'instant et tu viens de trouver le bon résultat :
$un=−14×3n+1\boxed {u_n=-\frac{1}{4} \times 3^n + 1}$

Ca y est, tu viens de trouver la réponse, tu ne le vois pas ?

@Kahina-AG
Bref, maintenant, tu n'as plus qu'à déterminer la limite de cette suite. Pour cela, il faut d'abord étudier la limite de $3^n$ , puis tu déduis celle de $−14×3n-\frac{1}{4} \times 3^n$ en multipliant le résultat obtenu par $−14-\frac{1}{4}$ (on fait un produit de limites) et tu ajouteras 1 au résultat que tu auras obtenu (on fait une somme de limites) pour obtenir le résultat final. Appuie-toi sur ton cours, la limite d'une suite géométrique est obligatoirement dans ton cours car c'est au programme officiel.

Vas-y, essaie de trouver cette limite.

Bonsoir à tous, j’ai exactement le même exercice du coup je me permets de « m’incruster » si ça ne vous dérange pas. 3^n tend vers + infini?

Bonsoir Lucie-Ferraud,

Oui

$3^n$ tend vers l'infini si n tend vers l'infini.

Du coup comment on fait pour déterminer la limite d’une suite ? Je n’ai pas de cours sur ça

Tu dois calculer la limite de $un=−14×3n+1u_n=-\dfrac{1}{4} \times 3^n+1$

Comme tu as calculer la limite de $3^n$
Tu peux en déduire la limite de la suite.

A vrai dire j’ai dis au hasard... j’ai dit cela car c’était supérieur à 1 mais totalement au hasard.

C'est juste.
Si $n$ tend $+∞+\infty$ , $x^n$ vers tend vers $+∞+\infty$ si $\gt1$ .

Et du coup on dit que la suite tend vers + infini ?

Non,

Tu n'as pas pris en compte le $−14-\dfrac{1}{4}$ .

@Kahina-AG , bonjour,

Tu as supprimé tous les messages , y compris ton énoncé.
Ce n'est vraiment pas sympathique vis à vis de ceux qui t'ont aidé et ceux qui consultent (et qui veulent comprendre l'exercice)...

@Lucie-Ferraud
Bonjour,

Comme dit @Noemi il faut prendre en compte le $−14-\frac{1}{4}$ , c'est-à-dire qu'il va rentrer dans le calcul de la limite totale.

En terme de méthode et de rédaction, le plus carré pour démarrer est de procéder comme suit, je pense :

Calculer la limite de $3^n$ (ça c'est fait, comme tu l'as dit c'est $+∞+\infty$ car la raison est strictement supérieure à 1)
Calculer la limite de $−14-\frac{1}{4}$ (c'est facile puisque cette expression est une constante qui ne dépend pas de $n$ )
En déduire la limite de $−14×3n-\frac{1}{4} \times 3^n$ en utilisant la propriété : "la limite d'un produit est le produit des limites". Tu as donc le droit de multiplier les deux limites obtenues aux 1) et 2) pour obtenir la limite 3).
Déterminer la limite de 1 (facile aussi car c'est également une constante qui ne dépend pas de $n$ ).
En déduire la limite de $−14×3n+1-\frac{1}{4} \times 3^n+1$ (c'est-à-dire $u_n$ ) en faisant la somme de la limite 3) avec la limite 4). Et le tour est joué !

La limite 1) est la plus difficile, mais tu as ton cours pour t'aider. Et pour le reste, les calculs ne sont pas très difficiles mais demandent seulement une bonne rédaction et d'être bien méthodique et organisée. Tu verras, cela va passer tout seul si tu suis bien les étapes et que tu t'appuies sur ton cours sur les sommes et les produits de limites !

@Lucie-Ferraud

Poste ta rédaction et tes résultats pour que l'on puisse te corriger si tu n'es pas sûre de toi. Bon courage !

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