Aidez-moi svp (Suites)

Bonjour , je n'arrive pas vraiment à voir le début de résolution alors si je pouvais avoir une piste svp voilà l'enoncé :
On considère la suite (un) définie par u1 = 1/3 et pour tout entier naturel n>=1,

                        un+1 = (n+1/3un)un

Calculer u2 et u3.
On pose pour tout entier naturel n∈N , vn = un/n

a. Démontrer que pour tout entier n>=1, vn+1 = (1/3)vn.

b. En déduire la nature de la suite (vn), préciser la raison et le premier terme v1.

c. Démontrerque:∀n∈N ,un =n(1/3)
􏰂1􏰃n+1
3. Démontrer que pour tout entier n>=1,
un+1 − un = (1 − 2n)(1/3)n^(n+1), puis en déduire le sens de variation de la
suite (un).

Bonjour samiroo,

Vérifie l'expression de $u_{n+1}$ .
C'est $un+1=(n+13un)×unu_{n+1}=(n + \dfrac{1}{3}u_n)\times u_n$ ?

Ou $un+1=(n+13n)×unu_{n+1}=( \dfrac{n+1}{3n})\times u_n$ ?

Pour la première question, il suffit de remplacer
$n$ par 1 puis par 2.

Pour la deuxième question
Ecrire $vn+1=un+1n+1v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{n+1}$
puis remplacer $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ puis
utiliser la relation $u_n =nv_n$ .

Indique tes calculs si tu souhaites une correction.

@Noemi
Dsl du retard , la suite est bien :
un+1 = ((n+1)/3n)un
Alors pour la première j'ai mit :
u2 = ((2+1)/3x2)x(1/3) car u1=1/3
= 1/6
et pour u3 :
u3 = ((3+1)/3x3)x(1/6)
= 2/27
En revanche pour la 2 je n'est pas très bien compris

Pour $u_2$ , il faut remplacer $n$ par 1.
$u2=1+13×1×13=.....u_2=\dfrac{1+1}{3\times1}\times \dfrac{1}{3} = .....$

pour $u_3$ , remplacer $n$ par 2.

Pour la deuxième question
$vn+1=un+1n+1v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}}{n+1}$
On remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$
soit $vn+1=n+13nunn+1=un3nv_{n+1} = \dfrac{\dfrac{n+1}{3n}u_n}{n+1} = \dfrac{u_n}{3n}$
Or $u_n =nv_n$ .
Donc $v_{n+1} = .....$

@Noemi
Ah oui je m'étais tromper merci :
u2 = ((1+1)/(3x1))x(1/3) = 2/9 = 0,22
et u3 = ((2+1)/3x2)x(2/9) = 1/9 = 0,11

et donc vn+1 = (1/3)vn mais je ne vois pas vraiment l'utilité de un = nvn , j'ai bien compris que c'etait la formule de vn qu'on a changer pour obtenir un mais à quoi cela sert-t-il ?

$u_2$ et $u_3$ juste, il faut garder la valeur exacte donc la fraction.

$vn+1=n+13nunn+1=un3nv_{n+1} = \dfrac{\dfrac{n+1}{3n}u_n}{n+1} = \dfrac{u_n}{3n}$

Or $u_n =nv_n$ .

Donc $vn+1=nvn3n=vn3v_{n+1} = \dfrac{nv_n}{3n}= \dfrac{v_n}{3}$

On trouve la relation demandée en a.

b. tu déduis la nature de la suite et tu cherches son premier terme.

@Noemi
à première vu je dirai que la suite est géométrique puisqu'on a un quotient ? et j'ai également posé ((1/3)vn)/vn) et je trouve 1/3 qui est donc sa raison mais pour le premier terme je ne vois pas vraiment

Oui la suite est géométrique.
A partir de la relation : $vn=unnv_n=\dfrac{u_n}{n}$
Tu remplaces $n$ par 1 pour trouver $v_1$ .

@Noemi
Alors si j'ai bien compris vn = un/n
donc : v1 = (1/3)/1 donc v1 = 1/3 toujours ?

Oui, $v1=13v_1 = \dfrac{1}{3}$ .

@Noemi alors pour la c . je suis censé démontrer que $un = n(1/3)^n$ mais je ne vois aucune manière de le démontrer si ce n'est de réecrire $u n + 1 = (n + 1 / 3 n) u n$ avec le terme générale

C'est une suite géométrique, calcule le terme général de la suite en fonction de $n$ .