DM sur les 2 parties des complexes

Bonjour, j'ai un DM à faire pour reprendre les 2 parties des complexes, néanmoins je bloque sur certaines questions. Il s'agit d'un DM avec des affirmations à justifier et plusieurs réponses sont possibles. Voici l'énoncé :

Le conjugué de 𝑍 = 1−𝑧/1+𝑖 où 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, avec 𝑥 et 𝑦 réels est égal à : A) 1+z/(1-i) B) 1−𝑧̅/(1−i) C) 1−𝑥+𝑖𝑦/(1−𝑖)
On sait que 𝑧𝐴=3 et 𝑧𝐵=2𝑖 alors 𝐴𝐵 est égal à
A) |𝑧𝐴| + |𝑧𝐵 |
B) √13
C) |𝑧𝐵 − 𝑧𝐴|
Si 𝑧𝐴 = 1 + 𝑖√3 et 𝑧𝐵 = 1 + 𝑖 alors : A) 𝑧𝐴/ 𝑧𝐵 = (√3 + 1)/2 + 𝑖(√3 − 1)/2
B) 𝑧𝐴/ 𝑧𝐵= √2(𝑐𝑜𝑠(pi)/ 12+ 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜋/12) C) (𝑢⃗ ;𝐴𝐵⃗ ) a pour mesure 𝜋/ 2
𝑓(𝑧) = 2𝑧2 − 12𝑧 + 26 A) la solution de l’équation : 𝑓(𝑧) = −12𝑧 est 𝑖√13
B) 𝑓(𝑧) a pour racines : 3 + 2𝑖 et 3 − 2𝑖
C) 𝑓(𝑧) = (𝑧 − 3 − 2𝑖) (𝑧 − 3+ 2𝑖)
L’ensemble des points 𝑀 d’affixe 𝑧 = 𝑖 + 2𝑒𝑖𝜃 avec 𝜃 ∈ ℝ est
A) le cercle d’équation : x^2+(𝑦-1)^2 = 4
B) Le cercle de centre 𝐼(0; 1) et de rayon 2
C) le cercle de centre 𝐽(2; 0) et de rayon 1
𝐴 et 𝐵 ont pour affixes respectives 𝑎 = −√5 +𝑖√15 et 𝑏 = 2√3 + 2𝑖 :
A)pour tout 𝑛 de ℕ arg(𝑎^𝑛) = 2𝑛𝜋/3
B) 𝑂 appartient à la médiatrice de [𝐴𝐵]
C) 𝑂𝐴𝐵 est rectangle en O
𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont pour affixes respectives 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que 𝑏−𝑎/(𝑐−𝑎)=𝑖√3
A) (𝐴𝐵⃗ ;𝐴𝐶⃗) =𝜋/2 (2𝜋)
B) 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴
C) 𝐵𝐶 = 2𝐴C
Mes éléments de réponses :

1- je n'ai pas su faire, j'ai tenté de developper mais c'est faux.
2- AB= | zB-zA-| = |2i-3| = racine carré(2^2+(-3)^2)= racine carré(4+9)=racine carré de 13 DONC réponses B-C
3- J'ai trouvé Z=zA/zB= (1+racine de 3)/2 + i(racine de 3-1)/2 ayant donc pour module racine de 2. J'ai essayé de faire cos teta= Re(z)/ |Z| et pareil pour le sinus,j'ai trouvé theta= pi/3+Pi/6 mais je n'ai pas su continuer donc j'ai developper la formule de l'enoncé et j'ai trouvé A-C
4- J'ai fais une équation du 2nd degré et j'ai trouvé B-C mais je ne suis pas sur de la réponse B
5) 6) et 7) Je bloque

Désolé ca fait long. Merci d'avance pour votre aide!

Bonsoir shana67,

1- Ecris $Z$ sous la forme $Z1Z2\dfrac {Z_1}{Z_2}$ puis calcule le conjugué.
2-Juste
3- Pour l'angle c'est $π3−π4\dfrac{\pi}{3} -\dfrac{\pi}{4}$ = ....
4- Juste,: Rectification : Le C est faux car il manque le facteur 2.
5- Remplace $z$ par $x + i y$ puis détermine les expressions de $x$ et $y$ .
6- Calcule le module et l'argument de $a$ .
...

Merci de votre aide.

J'ai repris à l'aide de vos indications du coup :

A, B, C => le conjugué de Z1/ Z2= 1-z barre / 1-i= 1+z/1-i mais aussi = 1-x+iy/ 1-i
Je comprend pas comment on trouve pi/3-pi/4 ? faut - il developper? reponses A et C ?
Je bloque encore de mêmepour la 7
en calculant module+ argument on trouve arg(z)= 2pi/3 donc réponse A?

Merci d'avance

1- Si $\dfrac{z}{1+i}$
$Z=1+i−z1+iZ=\dfrac{1+i-z}{1+i}$
Calcule alors le conjugué.
Si $\dfrac{1-z}{1+i}$
Les réponses sont bien $1−z‾1−i\dfrac{1-\overline{z}}{1-i}$ et $1−x+iy1−i\dfrac{1-x+iy}{1-i}$
3- Calcule le module et l'argument de $z_A$ et $z_B$ .
6- L'argument de A est bien $2π3\dfrac{2\pi}{3}$ .
Compare les modules.
Cherche la mesure de l'angle AOB.
7- Calcule le module et l'argument de $i3i\sqrt3$ .

Bonjour @shana67 et @Noemi ,

@shana67 ,

Pour la question 1), j'ai un doute sur ton écriture.

S'agit-il vraiment de $Z=1−z1+iZ=1-\dfrac{z}{1+i}$ (comme tu l'as écrit, vu que tu n'as pas mis de parenthèses)
ou $Z=1−z1+iZ=\dfrac{1-z}{1+i}$

Ce serait bien de l'indiquer, pour lever ce doute.

(Je vois d'ailleurs que Noemi vient de modifier sa réponse, vu le doute...!)
Dans sa première réponse elle avait pris la première écriture, ensuite, elle a bien fait de mettre les deux possibilités !

Je pense que tu as oublié de mettre des parenthèses au numérateur et qu'il s'agit de la seconde écriture c'est à dire
$Z=1−z1+iZ=\dfrac{1-z}{1+i}$
Ainsi les propositions B et C sont bonnes (en mettant le numérateur entre parenthèses)

Tiens nous au courant.

@shana67

Pour la 3), la proposition A est bonne (forme algébrique).
C'est bien ce que tu as trouvé.

Pour que tu puisses vérifier les arguments, je t'indique les formes trigonométriques/exponentielles de zA et zB

$zA=2(cosπ3+isinπ3)=2eiπ3z_A=2(cos\dfrac{\pi}{3}+isin\dfrac{\pi}{3})=2e^{i\dfrac{\pi}{3}}$

$zB=2(cosπ4+isinπ4)=2eiπ4z_B=\sqrt 2(cos\dfrac{\pi}{4}+isin\dfrac{\pi}{4})=2e^{i\dfrac{\pi}{4}}$

Après calculs
$zAzB=2(cos(π3−π4)+(π3−π4)=2ei(π3−π4)\dfrac{z_A}{z_B}=\sqrt 2 \biggl(cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})+(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\biggl)=\sqrt 2e^{i(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})}$

$π3−π4=π12\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{12}$

$zAzB=2(cosπ12+isinπ12)=2eiπ12\dfrac{z_A}{z_B}=\sqrt 2(cos\dfrac{\pi}{12}+isin\dfrac{\pi}{12})=\sqrt 2e^{i\dfrac{\pi}{12}}$

Bonjour, dsl pour le retard...
Oui en effet pour la 1) j'ai oublié les parentheses... Pourquoi la réponse An'est pas possible ? J'étais convaicu que -zbarre= z, non?

Pour la 3, merci pour les explications approfondi, j'ai compris mon erreur, je ne suis pas passé à la forme exponentielle.

Pour la 5) ce serait possible d'être éclairé svp, psq je bloque vraiment. Je dois passer à la forme algébrique ?

Je suis en train de travailler la 6) et la 7), je reposte.

Merci d'avance !

@shana67 ,

C'est bien si c'est clair pour toi jusqu'à la 3)

Dans l'ordre, je commence à regarder la 4)

Tu as dit que tu as trouvé B et C .

Oui pour B mais C est faux car il manque 2 en facteur
(Noemi ne l'avait pas vu dans sa première réponse.
Elle vient de rectifier sa réponse, qui est maintenant correcte)

La réponse aurait été exacte s'il y avait écrit :

$f (z) = 2 (z - 3 - 2 i) (z - 3 + 2 i)$

Seule la réponse B est exacte.

@shana67 , pour la 5)

Ce n'est pas judicieux de passer par la forme algébrique.

Tu peux écrire, en transposant

$2𝑒^{𝑖\theta}$

Donc $∣ z - i ∣ = 2$ et $[2π]arg(z-i)=\theta\ [2\pi]$

En interprétant : $I M = 2$ et $(u→,IM→)=θ[2π](\overrightarrow{u}, \overrightarrow {IM})=\theta [2\pi]$

Je te laisse tirer les conclusions.

Du coup pour la 1) pourquoi la réponse A n'est pas possible?

Pour la 5) du coup c'est la reponse B: cercle de centre i et de rayon 2 et la réponse A: x^2+(y-1)^2=4 soit x+(y-1)=2, c'est bien ca ?

Pour la 6) du coup, j'ai calculé le module et l'argument de a et b en trouvant, |a|= 2racine de5 et arg(a)= 2pi/3 |b|=4 et arg(b)= 5pi/6
J'ai donc conclu que la reponse A etait bonne.
Pour la suite j'ai calculé l'argument de AOB, donc arg((zA-zO)/(zB-zO))= -pi/6 ( j'ai détaillé sur mon brouillon)
Donc on peut eliminer la C? je suis pas tout à faire sur, je pense que c'est incomplet.

Pour la 7) j'ai trouvé les réponses A,B et C, en calculant le module de |(b-a)/(c-a)| = racine de 3 j'ai pu en déduire l'argument qui est égal à pi/2. Ensuite, j'ai déduit que AB/AC= racine de3 soit AB=racine de 3AC soit AB^2=3AC^2. Donc d'apres le theoremede pythagore, BC^2=AB^2+AC^2= 4AC^2 soit BC=2AC. Donc ABC est un triangle rectangle en A.
Est-ce juste?

@shana67

OK pour la 5) A et B sont les réponses exactes.

@shana67 ,

Pour la 6) la réponse A) est bien exacte, mais la réponse C) aussi.
Revois les arguments et leurs différences

$\ a=\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]$

$[2π]arg\ b=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]$

Je comprends pas,ma demarche initiale est bonne?

@mtschoon
Ah oui mince, je viens de relire, j'ai rajouté un - à l'affixe de b

@shana67

Pour la 7) les réponses B et C sont bien exactes

Mais la réponse A n'est pas bonne car il y a un problème de signe

$[2π](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg \ \dfrac{c-a}{b-a}=-\dfrac{\pi}{2} \ [2\pi]$

@mtschoon
D'accord c'est compris pour la 7), merci bcp.

Pour la 6) j'ai revu les arguments et mon erreur mais du coup je ne sais pas comment continuer, la demarche que j'avais entreprise est-elle bonne?

@shana67 ,

Pour la 6) , par exemple,

$a=...(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=arg\ b-arg\ a=...$

(Tu comptes)

On utilise la formule arg(zB-zA) ? je ne connaissais pas votre methode...

@shana67 , je te détaille si besoin, mais en principe, c'est du cours.

Relation de Chasles relative aux angles orientés:

$(OA→,OB→)=(OA→,u→)+(u→,OB→)=(u→,OB→)−(u→,OA→)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB})-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA})$

Donc

$[2π](\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=arg \ b-arg\ a\ [2\pi]$

oui, je mexcuse , j'ai repondu trop vite, j'ai trouvé la proprieté: arg(zA/zB)= arg (zB)-arg(zA)
Soit (pi/6)-(2pi/3)= -pi/2
Est-ce juste?

@shana67 ,

Oui, c'est bon pour $−π2-\dfrac{\pi}{2}$ (c'est l'interprétation géométrique des arguments ).

@mtschoon Donc :

B, C
B, C
A,B
B
A, B
A, C
B,C
C'est ca ?

@mtschoon

@shana67 ,

Je regarde mais c'est tellement long qu'on s'y perd un peu.

Tout me paraît bon.

Tu as bien travaillé !

@Noemi @mtschoon C'est grâce à vous, merci bcp !!!

Bonne soirée

De rien @shana67 , nous faisons au mieux .

Bonne semaine !