Integrale et recurrence In/n! = 1 −1/e.(1 + 1/1! + 1/2! + .... + 1/n!).

Bonjour a tous,

S'il vous plait j'aurais besoin de votre aide pour m'aiguiller a ce sujet :
Je ne comprend pas du tout l'exercice ni la recurrence, je ne sais pas comment faire...
Voici l'énoncé :

Pour tout entier n strictement positif, on considère la fonction fn définie sur ]0;1[ par f_n (x) = ((Ln x)^n)/x^2 .
On considère également les intégrales I_n = ∫[1,e] f_n (x) dx .

Calculez I_1.
A l'aide d'une intégration par parties, montrez que: I_(n+1) = − 1/e + (n+1).I_n .
Déduisez-en, grâce à un raisonnement par récurrence, que I_n/n! = 1 −1/e.(1 + 1/1! + 1/2! + .... + 1/n!).
Démontrez que les I_n appartiennent à [0;e-1], à l'aide d'un encadrement de Ln sur [1;e].

Merci beaucoup

Bonsoir WVTHS,

Pour le calcul de $I_1$ , fais une intégration par partie en posant :
$u (x) = l n (x)$ et $v′(x)=1x2v'(x)=\dfrac {1}{x^2}$

Bonjour,

@WVTHS , tu as bien fait de recopier ton énoncé car les scans d'énoncés ne sont pas autorisés ici.
Tu peux maintenant supprimer l'image scannée ( ou la modération le fera, peut-être ).

Pour que tu puisses vérifier ton calcul, je t'indique ce que tu dois trouver pour $I_1$

$I1=∫1eln(x)x2dx=1−2e\displaystyle I_1=\int_1^e \dfrac{ln(x)}{x^2}dx=1-\dfrac{2}{e}$

Bon calcul.

Reposte si besoin.

Merci, beaucoup.
Le resultat m'a bien aidé, ca m'a permis de voir que je m'étais trompée la première fois.

En faisant, comme a suggéré Noemi, une intégration par partie

avec : $v'=\dfrac{1}{x^2}$
Donc $u′=1x,v=−1xu'=\dfrac{1}{x} , v = - \dfrac{1}{x}$

$∫abu.v′dx=[uv]ba−∫abu′.v\displaystyle\int_{a}^{b} u.v' dx = [uv]^a_b - \displaystyle\int_{a}^{b} u'.v$
$∫1eln(x).1x2dx=[ln(x).(−1x)]1e−∫1e1x.(−1x)\displaystyle\int_{1}^{e} ln(x).\dfrac{1}{x^2} dx = [ln(x).(-\dfrac{1}{x})]^e_1 - \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}.(-\dfrac{1}{x})$

$[ln(x).(−1x)]1e=ln(e).(−1e)−[ln(1).(−11)][ln(x).(-\dfrac{1}{x})]^e_1 = ln(e).(-\dfrac{1}{e}) - [ln(1).(-\dfrac{1}{1})]$

$[ln(x).(−1x)]1e=−1e+0[ln(x).(-\dfrac{1}{x})]^e_1 =-\dfrac{1}{e}+0$

$∫1e1x.(−1x)\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x}.(-\dfrac{1}{x})$ : Une Primitive de $−1x2-\dfrac{1}{x^2}$ est $1x\dfrac{1}{x}$
Donc $−1e+0−[1x]1e=1−2e-\dfrac{1}{e}+0- [\dfrac{1}{x}]^e_1 =1-\dfrac{2}{e}$

Merci beaucoup.

Est-ce que vous auriez une idée pour la question 3, parce que je bloque vraiment.
Merci encore.

@WVTHS ,

Pour la 3), l'énoncé t'indique la méthode : raisonnement par récurrence.

Je te donne la marche à suivre si tu as besoin.

i) Initialisation : Tu dois vérifier que la propriété à démontrer est vraie pour n=1, c'est à dire que l'expression trouvée pour $I_1$ permet d'écrire :
$I11!=1−1e(1+11!)\dfrac{I_1}{1!}=1-\dfrac{1}{e}(1+\dfrac{1}{1!})$

Vu que $1! = 1$ , cela est évident.

ii) Transmission (on dit aussi hérédité ). Utilise la notation de ton cours.

Hypothèse pour une valeur n de N :
$Inn!=1−1e(1+11!+..+1n!)\displaystyle \dfrac{I_n}{n!}=1-\dfrac{1}{e}\biggl(1+\dfrac{1}{1!}+..+\dfrac{1}{n!}\biggl)$

Tu dois démontrer que la propriété est vraie pour la valeur (n+1) de N, c'est à dire que :
$In+1(n+1)!=1−1e(1+11!+..+1n!+1(n+1)!)\displaystyle \dfrac{I_{n+1}}{(n+1)!}=1-\dfrac{1}{e}\biggl(1+\dfrac{1}{1!}+..+\dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{(n+1)!}\biggl)$

Pour faire la démonstration de cette propriété à l'ordre (n+1), utilise l'hypothèse à l'ordre n et la propriété démontrée au 2)

Reposte si tu n'y arrives pas.

@WVTHS ,
Remarque : je pense que tu as un cours sur le raisonnement par récurrence, mais si besoin, tu peux regarder ici.

https://www.mathforu.com/terminale-s/le-raisonnement-par-recurrence/

J'ai juste un petit problème a la question 2,
Je n'arrive pas a trouver la primitive de

$∫1e(n+1)ln(x)nx.(−1x)dx\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{(n+1)ln(x)^n}{x} .(-\dfrac{1}{x})dx$

avec :
$u=ln(x)n+1,v′=1x2u=ln(x)^{n+1} , v'=\dfrac{1}{x^2}$
$u′=n+1ln(x)nx,v=−1xu'=\dfrac{n+1ln(x)^n}{x}, v=-\dfrac{1}{x}$

Donc $In+1=[ln(x)n+1.(−1x)]1e−∫1e(n+1)ln(x)nx.(−1x)dxI_{n+1}=[ln(x)^{n+1}.(-\dfrac{1}{x})]^e_1-\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{(n+1)ln(x)^n}{x} .(-\dfrac{1}{x})dx$

$[ln(x)n+1.(−1x)]1e=(ln(e)n+1.(−1e))−(ln(1)n+1.(−1))=−1n+1e+0[ln(x)^{n+1}.(-\dfrac{1}{x})]^e_1 =(ln(e)^{n+1}.(-\dfrac{1}{e}))-(ln(1)^{n+1}.(-1))=-\dfrac{1^{n+1}}{e}+0$

Donc : $In+1=−1e+0−∫1e(n+1)ln(x)nx.(−1x)dxI_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+0-\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{(n+1)ln(x)^n}{x} .(-\dfrac{1}{x})dx$
Sachant que $In+1=−1e+(n+1).InI_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1).I_n$

Si Vous avez une idée ce serait super.

Bonjour @mtschoon,

Je viens tout juste de voir vos deux messages concernant la 3, je vous remercie.
Effectivement, cela me parait plus claire, je vais travailler dessus.
Merci beaucoup.

@WVTHS ,

Nos réponses ont dû se croiser...

Tu demandais une aide pour la 3), alors, on aurait pu croire que tu n'avais pas de problème pour la 2)...

Je regarde ton calcul fait par IPP pour la 2)

Il n'y a pas de faute mas la fin est bizarre ...il n'y a pas d'intégrale à calculer.

L'avant dernière ligne de ton calcul peut s'écrire, en réduisant un peu :
$In+1=−1e+∫1e(n+1)(lnx)nx2dx\displaystyle I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+\int_1^e\dfrac{(n+1)(lnx)^n}{x^2}dx$

En sortant (n+1) de l'intégrale

$In+1=−1e+(n+1)∫1e(lnx)nx2dx\displaystyle I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)\int_1^e\dfrac{(lnx)^n}{x^2}dx$

Vu que $In=∫1e(lnx)nx2dx\displaystyle I_n=\int_1^e\dfrac{(lnx)^n}{x^2}dx$ , tu peux conclure que :

$In+1=−1e+(n+1)In\displaystyle\boxed{ I_{n+1}=-\dfrac{1}{e}+(n+1)I_n}$

CQFD

Si tu es d'accord avec cette fin, tu peux passer à la question 3)
(et demande si tu n'y arrives pas)