produit scalaire verification d une condition

Bonjour
j ai un probleme a montrer le question suivant:
soit ABC un triangle isocele en A tel que AB=6 et BC=4 et H le projete orthogonale de A sur (BC) et I le millieu de [AC].
le cercle (C) de centre I et passant par A recoupe [AB] en en E.
G le centre de gravite du triangle ABC
4) soit (E)={M∈P;MB=2MI} et soit B' la symétrique de B par rapport a I.
b)Montrer que M∈(E) si et seulement si : vecteur MG scalaire vecteur MB' =0

@Mariem-jabloun , bonjour,

J'espère que tu as fait un schéma pour éclairer cette question.

Je te mets des pistes,

Il faut reconnaître que sans indications données dans l'énoncé, cette question n'est pas très facile...

Tu peux commencer par trouver les points M qui conviennent, situés sur la droite (IB)
Tu trouves deux points : G car GB=2GI (propriété usuelle) et B' car B'B=2B'I par construction.
Tu peux traduire cela en égalités vectorielles ;
$GB→=−2GI→\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{GI}$ c'est à dire $GB→+2GI→=0→\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}$
$B′B→=2B′I→\overrightarrow{B'B}=2\overrightarrow{B'I}$ c'est à dire $B′B→−2B′I→=0→\overrightarrow{B'B}-2\overrightarrow{B'I}=\overrightarrow{0}$
Si tu connais les barycentres (?) du peux dire que G est le barycentre de {(B,1),(I,2)} et que B' est le barycentre de{ (B,1),(I,-2)}

Démonstration proprement dite.
Tu peux faire partie directe et partie réciproque séparemment.
Tu peux aussi raisonner par équivalences logiques ( ce qui est plus rapide) en n'oubliant pas d'écrire les équivalences (<=>))

$M B = 2 M I$ <=> $MB^2=4MI^2$ <=> $MB^2-4MI^2=0$
c'est à dire
$MB→2−4MI→2=0\overrightarrow{MB}^2-4\overrightarrow{MI}^2=0$
c'est à dire
$(MB→+2MI→).(MB→−2MI→)=0(\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MI}).(\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MI})=0$

Si tu connais les barycentres, tu peux utiliser les propriétés directement, sinon tu les démontres avec la relation de Chasles.

Pour tout point M du plan :
$MB→+2MI→=3MG→\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MI}=3\overrightarrow{MG}$
$MB→−2MI→=(−1)MB′→\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MI}=(-1)\overrightarrow{MB'}$

Au final :
$M B = 2 M I$ <=> $3MG→.(−1)MB′→3\overrightarrow{MG}.(-1)\overrightarrow{MB'}$ <=> .............................
Tu termines.

Bons calculs.

SCHEMA :

text alternatif

Le cercle (C) en rouge est l'ensemble des points M .

Cet ensemble n'est pas demandé dans la question posée ; dommage, mais c'est peut être une question suivante de l'exercice.

$MG→\overrightarrow{MG}$ et $MB′→\overrightarrow{MB'}$ orthogonaux (produit scalaire nul) équivaut à dire que M appartient à (C), cercle de diamètre [GB']

Remarque : ce cercle passe par A car AB=2AI.

@mtschoon
c est déjà demandé de montrer que G est le barycentre des points pondérés (I,2)
et (B,1) dans la question précédente.
si non merci beaucoup .

@mtschoon oui c est demandé de caractériser (E) dans la question suivante

Bonjour Mariem-jabloun,

Il est préférable d'écrire l'énoncé de l'exercice en entier et de préciser la (les) question(s) pour laquelle (lesquelles) tu as besoin de pistes pour la résolution.

@Noemi
oui j ai deja precisé la question et j ai eu la solution
merci pour votre remarque

@Mariem-jabloun ,

Je sentais bien que ta question était relative aux barycentres...
Sans les questions préalables , la question devenait difficile !
Et la conséquence sur (E) était logique, c'est pour ça que j'ai eu la tentation de la faire.

Cet exercice était bien conçu,

Comme te l'a dit Noemi, une prochaine fois, donne l'énoncé entier pour avoir plus de clarté sur la question qui te bloque.

Bon travail ( et bon dimanche ) .

d accord ,merci beaucoup

De rien , @Mariem-jabloun .