j ai une question au niveau des variations d une fonction

Bonjour
j ai des difficultés a comprendre le cas suivant:
soit f une fonction définie sur R par f(x)=x(1-x)
c est a dire f(x)=-x2+x
*alors Cf est une parabole de sommet le point (1/2,1/4) avec a<0 alors Cf est orientée vers le bas
alors f est croissante sur ]- ∞,1/2] et f est décroissante sur [1/2,+∞[
*or f(x)=1/4-(x-1/2)2
soient a et b deux réels tel que a<b ....f(a)>f(b)
alors f est décroissante sur R
ce n est pas le même résultat
quel est le problème ,est ce que j ai des fautes ?

Bonjour Mariem-jabloun,

Pour la deuxième écriture de la fonction $f$ , l'étape
$a<ba\lt b$ implique $f(a)>f(b)f(a)\gt f(b)$ est fausse
$a<b<12a\lt b\lt\dfrac{1}{2}$ implique $f(a)>f(b)f(a)\gt f(b)$ et

$a>b>12a\gt b \gt \dfrac{1}{2}$ implique $f(a)>f(b)f(a)\gt f(b)$

@Mariem-jabloun , bonjour.

Piste de calcul,

$f(x)=−(x−12)2+14f(x)=-(x-\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{1}{4}$

$a<b\boxed{a\lt b}$ donc $(a−12)<(b−12)\boxed{(a-\dfrac{1}{2})\lt (b-\dfrac{1}{2})}$

1er cas :
Pour $\lt \dfrac{1}{2}$ et $b<12b\lt \dfrac{1}{2}$ c'est à dire $a<b<12a\lt b \lt \dfrac{1}{2}$
Les deux membres $(a−12)(a-\dfrac{1}{2})$ et $(b−12)(b-\dfrac{1}{2})$ sont négatifs.
On élève au carré en changeant le sens de l'inégalité :
$(a−12)2>(b−12)2(a-\dfrac{1}{2})^2\gt (b-\dfrac{1}{2})^2$

En multipliant par -1, on change à nouveau le sens de l'inégalité
$−(a−12)2<−(b−12)2-(a-\dfrac{1}{2})^2\lt -(b-\dfrac{1}{2})^2$

En ajoutant $14\dfrac{1}{4}$
$−(a−12)2+14<−(b−12)2+14-(a-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\lt -(b-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}$

donc : $\lt f(b)$ : f croissante.

2ème cas :
Pour $\gt \dfrac{1}{2}$ et $b>12b\gt \dfrac{1}{2}$ c'est à dire $12<a<b\dfrac{1}{2}\lt a \lt b$

Tu appliques le même raisonnement et tu dois trouver $\gt f(b)$ : f décroissante.

@Noemi
merci beaucoup