Montrer par récurrence

Bonsoir à tous.
Montrer par récurrence
3n/2n+1 < 1+1÷(2^2)+1÷(3^2)...1/(n^2)<2-(1/n)

Bonsoir Bnhadouch-Yassir,

Indique tes calculs.

@Noemi comment

@Bnhadouch-Yassir

Vérifie l'initialisation.

@Noemi j'ai trouvé la solution merci beaucoup pour votre aide

Bonjour,

Bizarre...
Tu as écrit (je le mets en Latex pour que ça soit plus lisible )

$3n2n+1<1+122+132+...+1n2<2−1n\dfrac{3n}{2n+1}\lt 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\lt 2-\dfrac{1}{n}$

Ces inégalités au sens strict sont fausses pour n=1 (initialisation)
on obtient :
$32+1<1<2−11\dfrac{3}{2+1}\lt 1\lt 2-\dfrac{1}{1}$ c'est à dire $1<1<11\lt 1\lt 1$ ce qui est faux !

Ton énoncé est donc à revoir.

@mtschoon pardon c'est supérieur ou égal merci beaucoup j'ai une question comment peux-je écrire des formules mathématiques comme vous

Bonsoir Bnhadouch-Yassir,

Un lien pour savoir comment écrire les expressions mathématiques en Latex ou Katex :
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progress

@Noemi merci infiniment c'est très outil

Bonjour,

@Bnhadouch-Yassir , c'est bien d'avoir modifié ton énoncé.
Il s'agit donc de :
$3n2n+1≤1+122+132+...+1n2≤2−1n\boxed{\dfrac{3n}{2n+1} \le 1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\le 2-\dfrac{1}{n}}$

C'est bien si tu l'as terminé sans aide.

Au cas où certains seraient intéressés par ton énoncé , j'indique quelques pistes possibles, en deux parties.

1ère partie : démontrer que , pour tout n de $N^*$
$1+122+132+...+1n2≥3n2n+1\boxed{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} \ge \dfrac{3n}{2n+1}}$

Récurrence.
Initialisation pour n=1 : on obtient $1 = 1$ Vrai
Hérédité :
Hypothèse à un ordre n :
$1+122+132+...+1n2≥3n2n+11+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} \ge \dfrac{3n}{2n+1}$
Conclusion à démonter à l'ordre (n+1) :
$1+122+132+...+1n2+1(n+1)2≥3n+32n+31+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} +\dfrac{1}{(n+1)^2}\ge \dfrac{3n+3}{2n+3}$

Piste pour la démonstration,
$1+122+132+...+1n2+1(n+1)2≥3n2n+1+1(n+1)21+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2} +\dfrac{1}{(n+1)^2}\ge \dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}$

Prouvons que $3n2n+1+1(n+1)2≥3n+32n+3\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ge \dfrac{3n+3}{2n+3}$
Ainsi, par transitivité de la relation $≥\ge$ , la conclusion sera prouvée.

Pour cela on peut expliciter $3n2n+1+1(n+1)2−3n+32n+3\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{3n+3}{2n+3}$
On doit trouver après calcul, sauf erreur
$3n2n+1+1(n+1)2−3n+32n+3=n2+2n(2n+1)(2n+3)(n+1)2\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{3n+3}{2n+3}=\dfrac{n^2+2n}{(2n+1)(2n+3)(n+1)^2}$
On justifie aisément que
$3n2n+1+1(n+1)2−3n+32n+3≥0\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}-\dfrac{3n+3}{2n+3}\ge 0$
d'où
$3n2n+1+1(n+1)2≥3n+32n+3\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ge \dfrac{3n+3}{2n+3}$
d'où la réponse.

Une piste possible pour la seconde partie, c'est à dire démontrer que pour tout n de $N^*$ :
$1+122+132+...+1n2≤2−1n\boxed{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\le 2-\dfrac{1}{n}}$

Au lieu d'une récurrence (pour changer un peu...) on peut faire une
démonstration directe en utilisant une somme télescopique.

Pour tout $k>1k\gt 1$ , on peut écrire :
$k2≥k2−kk^2\ge k^2-k$ <=> $k2≥k(k−1)k^2\ge k(k-1)$
d'où $1k2≤1k(k−1)\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k(k-1)}$ <=> $1k2≤1k−1−1k\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

Conséquence :

Pour $k = 2$ : $122≤1−12\dfrac{1}{2^2}\le 1-\dfrac{1}{2}$
Pour $k = 3$ : $132≤12−13\dfrac{1}{3^2}\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
...
...
Pour $k = n$ : $1n2≤1n−1−1n\dfrac{1}{n^2}\le \dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$

En ajoutant membre à membre, et après simplifications, il reste :
$122+132+...+1n2≤1−1n\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\le 1-\dfrac{1}{n}$

En ajoutant 1 à chaque membre , on obtient l'inégalité demandée :
$1+122+132+...+1n2≤2−1n1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\le 2-\dfrac{1}{n}$

Bonne lecture.

@mtschoon dans ta somme télescopique lorsque tu écris $1/k2≤1/k(k−1)1/k^2 \leq 1/k(k-1)$ cette inégalité n’est pas vrai pour k=3,4,5...

Ce message a été supprimé !

@loicstephan $1/k2≤1/k(k−1)1/k^2\leq1/k(k-1)$ cette inégalité n’est pas vrai pour k=3,4,5...

@loicstephan , bonjour.

Contente que tu aies regardé ma démonstration ( mais regarde la de plus près....)

Une Remarque au sujet de Latex.
Lorsque tu obtiens une formule en rouge, c'est qu'il y a une erreur...

Pour écrire $ab\frac{a}{b}$ tu dois écrire , sans espace, $ \frac{a}{b}$
Tu peux aussi utiliser \dfrac au lieu de \frac.

Pour revenir à ta dernière affirmation qui est fausse ... :

Entre nombres strictement positifs
si $\ge b$ , alors $1a≤1b\dfrac{1}{a}\le \dfrac{1}{b}$ (on change le sens de l'inégalité)
Plus le dénominateur est grand, plus le quotient est petit.

$k2≥k(k−1)\boxed{k^2\ge k(k-1)}$ donc $1k2≤1k(k−1)\boxed{\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k(k-1)}}$

C'est de la logique ...

Je reprends un des exemples que tu donnes

Pour k=3
$132≤13(3−1)\dfrac{1}{3^2}\le \dfrac{1}{3(3-1)}$ <=> $19≤13(2)\dfrac{1}{9}\le \dfrac{1}{3(2)}$ <=> $19≤16\dfrac{1}{9}\le \dfrac{1}{6}$ VRAI

Tu peux continuer de vérifier pour k=4, puis 5, ,...

Bonne réflexion !

@mtschoon bonjour madame effectivement je me suis trompé c totalement juste !

@loicstephan , c'est bien d'avoir compris ton erreur.
C'est en comprenant ses erreurs qu'on progresse !

Bon travail !

@mtschoon cependant est ce que $1n(n−1)=1−1n\dfrac{1}{n(n-1)}=1-\dfrac{1}{n}$ ?

@loicstephan j’aimerais bien comprendre comment vous partez de $1n(n−1)\dfrac{1}{n(n-1)}$ pour $1−1n\dfrac{1}-\dfrac{1}{n}$

Ce message a été supprimé !

@loicstephan , non pour la formule que tu donnes car elle est fausse.

En réduisant au même dénominateur :
$1n−1−1n=n−(n−1)n(n−1)=n−n+1n(n−1)=1n(n−1)\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\dfrac{n-n+1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n(n-1)}$

Donc $1n(n−1)=1n−1−1n\boxed{\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}}$

C'est pour cela que dans ma démonstration directe proposée , j'ai remplacé $1k(k−1)\dfrac{1}{k(k-1)}$ par $1k−1−1k\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

Ce message a été supprimé !

@mtschoon comment vous partez donc du membre de droite pour avoir $1−1n1-\dfrac{1}{n}$ détaillée un peux votre démonstration ! S’ils vous plaît

@loicstephan , OK je détaille un peu (c'est ça l'idée d'une somme dite télescopique)

Tu ajoutes membre à membre les inégalités écrites de k=2 à k=n

La somme des membres de gauche vaut donc :
$122+132+...+1n2\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}$

Dans la somme des membres de droite, regarde de près (simplifications en "diagonale"). Il faut imaginer tout ce qui n'est pas écrit ; prends le temps d'y réfléchir :

$−12-\dfrac{1}{2}$ se simplifie avec $+12+\dfrac{1}{2}$ , $−13-\dfrac{1}{3}$ se simplifie avec $+13+\dfrac{1}{3}$ , ...etc..., $−1n−1-\dfrac{1}{n-1}$ se simplifie avec $+1n−1+\dfrac{1}{n-1}$ .

Après simplifications, dans le membre de droite, il reste seulement $1$ (en haut à gauche) et - $1n\dfrac{1}{n}$ (en bas à droite), d'où la réponse.

@loicstephan ,
Pour barrer en Latex,ce n'est pas génial, mais pour la simplification du membre de droite , c'est peut-être plus clair ainsi :
$1−̸12+̸12−̸13+̸13...........−̸1n−1+̸1n−1−1n=1−1n1-\not{\dfrac{1}{2}}+\not{\dfrac{1}{2}-\not{\dfrac{1}{3}}+\not{\dfrac{1}{3}}}...........-\not{\dfrac{1}{n-1}}+\not{\dfrac{1}{n-1}}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}$

@mtschoon madame je vous avoue que la je ne vous comprend pas!
Partons de:
Si $a_n$ est une suite, la série télescopique correspondante est la série de terme général est $a_{n+1}-a_n$

@loicstephan , essaye de dire à partir d'où tu ne comprends pas la démonstration.
Je reconnais qu'avec une craie et un tableau, c'est plus facile à expliquer que sur un forum...

@loicstephan ,

Vu les questions/réponses précédentes, j'espère que tu as compris que $1k2≤1k−1−1k\boxed{\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}}$

Tu appliques cette formule pour k=2, puis pour k=3, ..., jusqu'à k=n.
Tu obtiens ainsi (n-1) égalités que tu ajoutes membre à membre. C'est tout.

Si tu as de la peine à imaginer ce qui se cache derrière les pointillés, fais les calculs avec une valeur de n simple, par exemple n=7 ou 8, et tu comprendras les simplifications.

@loicstephan ,

Je te fais ( et te détaille ) tous les calculs pour n=5

$122≤1−12\dfrac{1}{2^2}\le 1-\dfrac{1}{2}$
$132≤12−13\dfrac{1}{3^2}\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$
$142≤13−14\dfrac{1}{4^2}\le \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$
$152≤14−15\dfrac{1}{5^2}\le \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$

En ajoutant

$122+132+142+152≤1−12+12−13+13−14+14−15\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}\le 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$

c'est à dire :
$122+132+142+152≤1+(−12+12)+(−13+13)+(−14+14)−15\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}\le 1+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})+(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{5}$

c'est à dire :
$122+132+142+152≤1+0+0+0−15\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}\le 1+0+0+0-\dfrac{1}{5}$

Au final :
$122+132+142+152≤1−15\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}\le1-\dfrac{1}{5}$

Conséquence, en ajoutant 1 à chaque membre :
$1+122+132+142+152≤2−151+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}\le2-\dfrac{1}{5}$

J'espère que c'est clair pour toi .

@mtschoon bonjour madame merci !

De rien @loicstephan .
J'espère que tu as bien compris la méthode (que tu verras souvent en maths, en post-bac).

@mtschoon les sommes télescopiques c ça

@loicstephan, Oui, tout à fait .

@mtschoon tout part de $k^2>=(k^2-1)$ n’est ce pas !

Ce message a été supprimé !

@loicstephan ,

Non, regarde le tout début.

$k∈N∗k\in N^*$

$k2≥k2−kk^2\ge k^2-k$ d'où $k2≥k(k−1)k^2\ge k(k-1)$ d'où
$1k2≤1k(k−1)\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k(k-1)}$ d'où $1k2≤1k−1−1k\dfrac{1}{k^2}\le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$

@loicstephan voilà !

@mtschoon voilà!

@loicstephan ,

J'espère que "Voilà" signifie que tu maîtrises bien.
Si c'est ça, c'est parfait !

@mtschoon oui oui!

Parfait ! ! !