Dérivation de la fonction cube


  • maybessa

    Bonjour,

    J'ai ici un exercice que j'ai fait et je voudrais savoir si j'ai bon à tout,

    Soit f la fonction cube définie sur /mathbb{R} par : f(x)= a3a^3a3

    1. Vérifier que pour tous réels a et b, (a+b)^3 = a3a^3a3 + 3a23a^23a2 b + 3ab23ab^23ab2 + b3b^3b3
    2. Démontrer que la fonction f est dérivable en 1
    3. Soit a un réel quelconque
      a) Calculer le taux de variation de f entre a et a+h, où h est plus grand que 0
      b) En déduire que f est dérivable pour tout réel a
      c) Donner l'expression de la fonction dérivée de f

    merci d avance.


  • maybessa

    1. (a+b)3(a+b)^3(a+b)3 = (a+b)(a+b)2(a+b)^2(a+b)2
      = (a+b)(a2a^2a2+2ab+b2b^2b2)
      = a3a^3a3+2a22a^22a2b+ ab2ab^2ab2+ ba2ba^2ba2+2ab22ab^22ab2+b3b^3b3
      = a3a^3a3+3a23a^23a2b+ 3ab23ab^23ab2+b3b^3b3

  • B

    @maybessa a dit dans Dérivation de la fonction cube :

    Bonjour,

    J'ai ici un exercice que j'ai fait et je voudrais savoir si j'ai bon à tout,

    Soit f la fonction cube définie sur /mathbb{R} par : f(x)= a3a^3a3

    1. Vérifier que pour tous réels a et b, (a+b)^3 = a3a^3a3 + 3a23a^23a2 b + 3ab23ab^23ab2 + b3b^3b3
    2. Démontrer que la fonction f est dérivable en 1
    3. Soit a un réel quelconque
      a) Calculer le taux de variation de f entre a et a+h, où h est plus grand que 0
      b) En déduire que f est dérivable pour tout réel a
      c) Donner l'expression de la fonction dérivée de f

    merci d avance.

    Bonjour,µ

    Je présume qu'il s'agit de f(x) = x³ et pas f(x) = a³
    ...

    Si oui, alors :
    2)

    lim(x--> 1) (f(x) - 1)/(x-1) = lim(x--> 1) (x³-1)/(x-1) = lim(x--> 1) (x-1)(x²+x+1)/(x-1)
    = lim(x--> 1) (x²+x+1) = 3

    Et donc f est dérivable en 1 et f '(1) = 3

    Autrement :
    (f(1+h) - f(1))/h = ((1+h)³-1)/h =( h³+3h²+3h+1-1)/h = h² + 3h + 3
    lim(h--> 0) (f(1+h) - f(1))/h = lim(h-->0) (h² + 3h + 3) = 3

    Et donc f est dérivable en 1 et f '(1) = 3

    f(a+h) - f(a) = (a+h)³ - a³ = a³+3a²h+3ah²+h³-a³ = 3a²h+3ah²+h³

    (f(a+h) - f(a))/h = 3a² + 3ah + h²

    lim(h--> 0) [(f(a+h) - f(a))/h] = lim( h--> 0) [3a² + 3ah + h²] = 3a²

    et donc ...


  • maybessa

    1. f(x)= x3x^3x3
      (x)'= 3x23x^23x2

    f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)f(a)

    f(1+h)−f(1)h\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}hf(1+h)f(1) = (1+h)3−13h\dfrac{(1+h)^3-1^3}{h}h(1+h)313

    On sait le résultat de (a+b)^3 donc (1+h)^3 = 131^313+ 3 fois 121^212 fois h + 3 fois 1 fois h2h^2h2+ h3h^3h3
    = 1+3h+3h23h^23h2+h3h^3h3

    1+3h+3h²+h3−1h\dfrac{1+3h+3h²+h^3-1}{h}h1+3h+3h²+h31 = 3h+3h²+h3h\dfrac{3h+ 3h²+ h^3}{h}h3h+3h²+h3= 3+3h+ h²

    lim= 3+3h+h²=3
    h tend 0

    F est dérivable en 1 en f'(1)= 3


  • maybessa

    @Black-Jack Oh désolé j'étais entrain d'écrire la site c'est pour ça , ça me prends du temps de tout écrire et oui c'est x^3


  • maybessa

    1. a) f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)f(a)

    f(a+h)−f(a)h\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)f(a) = (a+h)3−f(a)3h\dfrac{(a+h)^3-f(a)^3}{h}h(a+h)3f(a)3 = a3+3a²h+3ah²+h3−a3h\dfrac{a^3+3a²h+3ah²+h^3-a^3}{h}ha3+3a²h+3ah²+h3a3 =

    3a²h+3ah²+h3h\dfrac{3a²h+3ah²+h^3}{h}h3a²h+3ah²+h3 = 3a²+ 3ah +h²

    lim = 3a²+3ah+h² = 3a²
    h tend vers 0

    b) f'(a)= 3a²
    c) f'(x)= nxn−1nx^n-1nxn1 (la puissance est n-1)
    f'(x)= 3x²

    ​ merci d'avance


  • N
    Modérateurs

    Bonjour maybessa,

    C'est correct.

    Pour l'expression de la dérivée, utilise le résultat de la question 3 b).


  • maybessa

    bonsoir @Noemi , je viens de le faire


  • maybessa

    @Noemi très bien, merci beaucoup


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