Dérivation de la fonction cube

[maybessa]

Bonjour,

J'ai ici un exercice que j'ai fait et je voudrais savoir si j'ai bon à tout,

Soit f la fonction cube définie sur /mathbb{R} par : f(x)= $a^3$

1. Vérifier que pour tous réels a et b, (a+b)^3 = $a^3$ + $3a^2$ b + $3a{b}^2$ + $b^3$
2. Démontrer que la fonction f est dérivable en 1
3. Soit a un réel quelconque
   a) Calculer le taux de variation de f entre a et a+h, où h est plus grand que 0
   b) En déduire que f est dérivable pour tout réel a
   c) Donner l'expression de la fonction dérivée de f

merci d avance.

[maybessa]

1. $(a+b{)}^3$ = (a+b)$(a+b{)}^2$
   = (a+b)($a^2$+2ab+$b^2$)
   = $a^3$+$2a^2$b+ $a{b}^2$+ $b{a}^2$+$2a{b}^2$+$b^3$
   = $a^3$+$3a^2$b+ $3a{b}^2$+$b^3$

[Black-Jack]

@maybessa a dit dans Dérivation de la fonction cube :

Bonjour,

J'ai ici un exercice que j'ai fait et je voudrais savoir si j'ai bon à tout,

Soit f la fonction cube définie sur /mathbb{R} par : f(x)= $a^3$

1. Vérifier que pour tous réels a et b, (a+b)^3 = $a^3$ + $3a^2$ b + $3a{b}^2$ + $b^3$
2. Démontrer que la fonction f est dérivable en 1
3. Soit a un réel quelconque
   a) Calculer le taux de variation de f entre a et a+h, où h est plus grand que 0
   b) En déduire que f est dérivable pour tout réel a
   c) Donner l'expression de la fonction dérivée de f

merci d avance.

Bonjour,µ

Je présume qu'il s'agit de f(x) = x³ et pas f(x) = a³
...

Si oui, alors :
2)

lim(x--> 1) (f(x) - 1)/(x-1) = lim(x--> 1) (x³-1)/(x-1) = lim(x--> 1) (x-1)(x²+x+1)/(x-1)
= lim(x--> 1) (x²+x+1) = 3

Et donc f est dérivable en 1 et f '(1) = 3

Autrement :
(f(1+h) - f(1))/h = ((1+h)³-1)/h =( h³+3h²+3h+1-1)/h = h² + 3h + 3
lim(h--> 0) (f(1+h) - f(1))/h = lim(h-->0) (h² + 3h + 3) = 3

Et donc f est dérivable en 1 et f '(1) = 3

f(a+h) - f(a) = (a+h)³ - a³ = a³+3a²h+3ah²+h³-a³ = 3a²h+3ah²+h³

(f(a+h) - f(a))/h = 3a² + 3ah + h²

lim(h--> 0) [(f(a+h) - f(a))/h] = lim( h--> 0) [3a² + 3ah + h²] = 3a²

et donc ...

[maybessa]

2. f(x)= $x^3$
   (x)'= $3x^2$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ = $\frac{(1+h{)}^3-1^3}{h}$

On sait le résultat de (a+b)^3 donc (1+h)^3 = $1^3$+ 3 fois $1^2$ fois h + 3 fois 1 fois $h^2$+ $h^3$
= 1+3h+$3h^2$+$h^3$

$\frac{1+3h+3h²+h^3-1}{h}$ = $\frac{3h+3h²+h^3}{h}$= 3+3h+ h²

lim= 3+3h+h²=3
h tend 0

F est dérivable en 1 en f'(1)= 3

[maybessa]

@Black-Jack Oh désolé j'étais entrain d'écrire la site c'est pour ça , ça me prends du temps de tout écrire et oui c'est x^3

[maybessa]

3. a) $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = $\frac{(a+h{)}^3-f(a{)}^3}{h}$ = $\frac{a^3+3a²h+3ah²+h^3-a^3}{h}$ =

$\frac{3a²h+3ah²+h^3}{h}$ = 3a²+ 3ah +h²

lim = 3a²+3ah+h² = 3a²
h tend vers 0

b) f'(a)= 3a²
c) f'(x)= $n{x}^n-1$ (la puissance est n-1)
f'(x)= 3x²

​ merci d'avance

[Noemi]

Bonjour maybessa,

C'est correct.

Pour l'expression de la dérivée, utilise le résultat de la question 3 b).

[maybessa]

bonsoir @Noemi , je viens de le faire

[maybessa]

@Noemi très bien, merci beaucoup