Probabilités : loi log normale

Bonsoir,

Sur l'exercice qui est le suivant :

Une cueilleuse ramasse en moyenne un coquillage toutes les 4 minutes.
La masse d’un coquillage suit une loi log normale de paramètre :

µ = -1.1
σ² = 0.2

Quelle est la probabilité que la masse cueillie en 4 heures dépasse les 5 kilos ?

Je n'arrive pas à comprendre à quoi correspond µ étant donné qu'il est négatif.
Dois-je le convertir afin de pouvoir utiliser la loi normale ? (En utilisant ln ?)

Merci pour votre aide.

Bonsoir Edward-Edberg,

Tu peux utiliser ln en indiquant que $Y = l n (X)$ suit une loi normale d'espérance $μ\mu$ et de variance $σ2\sigma^2$ .

Ce message a été supprimé !

Bonsoir @Noemi ,

Merci pour ta réponse !

Alors justement j'ai donc fait ce qui suit :

P(X>5) = P(ln(X) > ln(5)) = P(Z > ln(5) - µ / σ) = P(Z > (ln(5)-(-1,1) / √0,2)

Ce ceci me donne le résultat suivant : P(Z>6,058).

Le problème c'est que le résultat doit être inférieur à 3,5 pour pouvoir obtenir un % entre 0 et 100 en se référant à la table de la loi normale centrée réduite.

Le problème vient peut être de ma compréhension à ce niveau-ci ou alors complètement au niveau du calcul ?

Merci pour votre aide.

Edit : J'ai supprimé l'ancien message puis reposté avec @

Bonjour,

@Edward-Edberg ,

C'est ton départ $X>5X\gt 5$ qui ne va pas.

X est la masse d'un coquillage.

Or, c'est la masse cueillie en 4 heures qui doit être supérieure à 5 kg
Tu as fait comme si la cueilleuse n'avait ramassé qu'un seul coquillage en 4 heures.

Comme la la cueilleuse ramasse en moyenne un coquillage toutes les 4 minutes, il faut que tu calcules combien elle ramasse de coquillage en 4 heures et que tu en tiennes compte.

Bonjour,
Merci @mtschoon ,

Je comprends mieux ! Ça me semble maintenant donc plus logique que la probabilité soit extrêmement faible (10^-70) à la calculatrice..

Donc si je prends P(A) = 60 coquillages en 4 heures ( (60 minutes /4 coquillages) x 4 heures = 60 coquillages).

Je peux calculer la probabilité que X dépasse 5 kilos sachant qu'elle ramasse 60 coquillages.
Ce qui donne en utilisant je suppose la formules de Bayes :

P(X>5/A) = P(A/(X>5) x P(X>5) / P(A).
Et là après je bloque comment intégrer nos paramètres.. Je doute qu'il faille utiliser Bayes ?

J'avais pensé par débuter en calculant : P(X>5) = ln(X) > ln(5) mais le résultat semble incohérent.

Merci de votre aide.

@Edward-Edberg ,
Je comprends mal ta démarche.
En 4 heures, la masse ramasée par la cueilleuse est 60X

@mtschoon
On cherche la probabilité que cette masse dépasse 5 kilos. Mais du coup en prenant 60X (Avec X = masse ?) on se dirige pas vers le calcul de la masse totale au bout de 4 heures ?

@Edward-Edberg ,

Oui , c'est la masse totale au bout de 4 heures qui dépasse 5 kg.

X , qui suit la loi log normale , est la masse d'un coquillage.

Je dirais : $\gt \dfrac{5}{60}$

@mtschoon

Aaaah ! oui les paramètres correspondent à la masse ici donc il faut prendre en compte 60 fois la masse et pas seulement 60..

Donc à partir de ça on peut reprendre :

P(X>5/60) = P(ln(X) > ln(5/60)) = P(Z > ln(5/60) - µ / σ) = P(Z > (ln(5/60)-(-1,1) / √0,2).

Ce qui nous donne P(Z > - 0.025) = P(Z<0,025 = 1-P(Z<0,025).
Et en se référant à la table loi normale centrée réduite on à le choix entre la colonne 0,02 et 0,03 (0,5080 et 0,5120 respectivement)
Ce qui donne : 1-0,5080 ≈ 0,492 = 49%

La femme aurait donc 49% de chance que les 60 coquillages ramassés sur 4 heures dépassent le poids total de 5 kilos.
Cela semble correct ?

@Edward-Edberg , bonsoir,

Les paramètres correspondent à la masse d'UN coquillage.

Ta dernière idée est bonne.
Il faut bien expliciter :
$X$ est la masse d’un coquillage ; elle suit la loi log normale avec les paramètres indiqués, donc $l n X$ suit la loi normale avec les mêmes paramètres .
$Z=lnX−μσZ=\dfrac{lnX-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale réduite centrée.
Avec les paramètres que tu indiques :
$p(Z)>ln(112)+1.10.2p(Z)\gt\dfrac{ln(\dfrac{1}{12})+1.1}{\sqrt{0.2}}$

Avant de rédiger, vérifie la suite de tes calculs avec calculette et table , ( je ne les ai pas faits, mais ce "-0.025" me parait douteux).

Bon travail.

@mtschoon

Si l'on réalise le calcul $p(Z)>ln(112)+1.10.2p(Z)\gt\dfrac{ln(\dfrac{1}{12})+1.1}{\sqrt{0.2}}$
On obtient bien p(Z)> -0.025 (vérification calculatrice).
La suite de la déduction me semble bonne.

Vos explications m'ont bien éclairées ! Merci beaucoup.

@Edward-Edberg ,re-bonjour,

Je regarde ce que me donne ma calculatrice.

$ln⁡(112)≈−2.48849\ln(\dfrac{1}{12}) \approx -2.48849$

$ln⁡(112)+1.1≈−1.38490\ln(\dfrac{1}{12})+1.1 \approx -1.38490$

$ln(112)+1.10.2≈−3.0967\dfrac{ln(\dfrac{1}{12})+1.1}{\sqrt {0.2}} \approx -3.0967$

Re-bonjour @mtschoon

En effet, je viens de refaire (problème de parenthèses sur le calcul global..)
Ce qui nous donne P(Z > - 3.097) = P(Z<3.097 = 1-P(Z<3.097).
Et en se référant à la table loi normale centrée réduite on à le choix entre la colonne 0.9990
Ce qui donne : 1-0.9990 ≈ 0.01 ≈ 1%

La femme aurait donc 1% de chance que les 60 coquillages ramassés sur 4 heures dépassent le poids total de 5 kilos.

@Edward-Edberg ,

Ton résultat n'est pas bon car tu fais une erreur dans tes transformations,
Par symétrie de la courbe de Gauss, tu peux dire directement :
$P(Z>−3.097)=P(Z<3.097)\boxed{P(Z \gt -3.097)=P(Z \lt 3.097)}$

Tu trouves ensuite le pourcentage cherché avec la table.

Remarque :
Le " $1−P(Z<3.097)1-P(Z\lt 3.097)$ " que tu ajoutes est inexact et fausse ta réponse.

Si tu veux passer par une étape supplémentaire (inutile ici) , tu peux écrire :
$P(Z>−3.097)=1−P(Z<−3.097)=P(Z<3.097)\boxed{P(Z\gt -3.097)}=1-P(Z\lt -3.097)=\boxed{P(Z\lt 3.097)}$