Linearisation fonction hyperbolique

[Kodak]

Bonjour.
Lineariser ch^5(x),quel qu'un peut m aider svp?

[mtschoon]

@Kodak , bonsoir,

Piste,

$ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$(ch(x){)}^5=\frac{1}{32}(e^x+e^{-x}{)}^5$

Tu développes $(e^x+e^{-x}{)}^5$ avec la formule du binôme et tu regroupes les termes deux par deux pour faire apparaître des lignes trigonométriques.

Reposte si tu n'y arrives pas ou si tu veux une vérification.

[Black-Jack]

Bonjour,

Ou si tu as oublié comment utiliser le binôme de Newton ... (qu'il te faudra réviser).

ch²(x) = [(e^x + e^-x)/2]² = (1/4).(e^(2x) + e^(-2x) + 2)
ch³(x) = [(e^x + e^-x)/2]³ = (1/8).(e^(3x) + 3.e^x + 3.e^-x + e^(-3x))

ch^5(x) = ch²(x) * ch³(x)
ch^5(x) = (1/32)*(e^(2x) + e^(-2x) + 2).(e^(3x) + 3.e^x + 3.e^-x + e^(-3x))

On distribue et on regroupe ... pour arriver à :

ch^5(x) = (1/32).(e^(5x) + e^(-5x)) + (5/32).(e^(3x) + e^(-3x)) + (5/16).(e^x + e^-x)
...

[mtschoon]

Bonjour,

@Kodak , Je détaille avec la formule du binôme, si besoin,

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$
$(ch(x){)}^5=\frac{1}{32}(e^{5x}+5e^{4x}{e}^{-x}+10e^{3x}{e}^{-2x}+10e^{2x}{e}^{-3x}+5e^x{e}^{-4x}+e^{-5x})$

$(ch(x){)}^5=\frac{1}{32}(e^{5x}+5e^{3x}+10e^x+10e^{-x}+5e^{-3x}+e^{-5x})$

Comme je te l'ai déjà indiqué, tu regroupes les termes deux par deux pour faire apparaître des lignes trigonométriques

$e^{5x}+e^{-5x}=2ch(5x)$
$e^{3x}+e^{-3x}=2ch(3x)$
$e^x+e^{-x}=2ch(x)$

Tu déduis l'expression trouvée pour $(ch(x){)}^5$

Si tu le souhaites, tu peux donner ta réponse pour vérification.

[Kodak]

@mtschoon
Boujour, désolé pour l absence,j ai euun problème de connexion,donc l'expression s'ecrira ch⁵(x)=1/32(2ch(5x)+2ch(3x)+2ch(x))

[Noemi]

@Kodak Bonjour,

Vérifie les coefficients.

[mtschoon]

@Kodak , bonjour,

Tu as oublié les coefficients 5 et 10 du développement.

[Kodak]

@mtschoon
Bonjour,
Ch⁵(x)=1/32(2ch(5x)+10ch(3x)+20ch(x))

[mtschoon]

@Kodak ,

C'est bon.

Si tu préfères, tu peux distribuer $\frac{1}{32}$ et simplifier les coefficients.

Tu obtiens ainsi :

$(chx{)}^5=\frac{1}{16}ch(5x)+\frac{5}{16}ch(3x)+\frac{5}{8}ch(x)$