SUITE ET RELATION DE RECURRENCE

Bonjour
Voilà l'exercice
Une suite Un est définie sur N star par son terme initial U1 et la relation de récurrence
$Un+1=Un+6Un+2U_{n+1} = \dfrac{Un+6}{Un+2}$
a) Démontrer qu'il existe deux valeurs a et
b de U1 (a<b) pour lesquelles la suite est constante .
b) on suppose que U1 = 3 Calculer U2,U3,U4
C) Calculer $U_{n+1} - U_{n}$

Relations écrites en Latex par la modération.

@Royce-FILS
Pour le a) je bloque totalement
pour la b ) je compte faire U2 = U1 + 6 / U1 +3 => U2 = 9/5
U3 = 9/5 + 30/5 ÷ 9/5 + 10/5
U3 = 39/5 ÷ 19/5
U3 = 39/19

U4 = 39/19+114/19÷ 39/19 + 38/19
U4 = 153/77

C) aucune idée

@Royce-FILS Bonjour,

Pour la question a) tu résous l'équation :
$U1=U1+6U1+2U_1=\dfrac{U_1+6}{U_1+2}$
Tu arrives à une équation du second degré avec 2 solutions.

b) Juste

c) Exprime la différence en fonction de $U_n$ .

Y a t-il une question d) ?

@Noemi
D'accord merci
Donc : U1² + U1 -6 = 0
a² + a - 6 = 0
∆ = 25 =>√∆ = 5
a = -3 et b = 2
-3 <2

Non il n'ya pas de petit d

@Royce-FILS

Le a) est juste.

@Noemi
D'accord merci
S'il s'agit bien d'une suite arithmetique $U_{n+1}$ - $U_{n}$ devrait nous donner la raison ..peut on se servir de U1 et de U0 où est-ce qu'on doit nécessairement le démontrer grâce aux variables n+1 et n ?

@Royce-FILS

Tu peux vérifier si cette suite et arithmétque en calculant la différence entre deux termes consécutifs
ou géométrique en calculant le rapport de deux termes consécutifs,
Il faut ensuite le démontrer.

L'exercice demande de calculer la différence, donc tu peux partir de l'expression générale.

@Noemi D'accord
mais comment savoir si cette suite est géométrique ou arithmetique ? Puis comment exprimer Un pour la réduire à Un+1 ?

@Royce-FILS

La suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

$Un+1−Un=Un+6Un+2−UnU_{n+1} - U_n= \dfrac{Un+6}{Un+2}- U_n$

Tu réduis le terme de droite au même dénominateur et tu simplifies.

@Noemi
Donc Un+1 - Un = Un+6 - Un (Un+2) / Un+2
Un+1 - Un = 6
C correct ?

@Royce-FILS

Non vérifie le calcul.

@Noemi
Pardon mais j'arrive pas à trouver
Un -Un +6 = 6 l'erreur est à quel niveau ? Le fait d'avoir simplifié par Un+2?

@Courtois

$Un+1−Un=Un+6Un+2−Un=Un+6−Un2−2UnUn+2=−Un2−Un+6Un+2U_{n+1} - U_n= \dfrac{Un+6}{Un+2}- U_n= \dfrac{U_n+6-U_n^2-2U_n}{U_n+2} = \dfrac{-U_n^2-U_n+6}{U_n+2}$

@Noemi Merci D'accord

Bonjour,

Une réflexion personnelle sur cet énoncé.

Il donne une impression de "non abouti"...
On demande d'abord de chercher les valeurs de $U_1$ pour lesquelles la suite est constante (on trouve $U_1=-3$ et $U_1=2$ )
Ensuite, l'énoncé choisi $U_1=3$ , donc suite non constante.
Il serait logique ,dans ce cas, d' étudier les variations de cette suite et sa convergence.
Ce n'est pas demandé...dommage...

J'indique une fin possible à cet exercice, pour lecture éventuelle.

Conséquence des questions b)c)
$U2−U1<0U_2-U_1 \lt 0$
$U3−U2>0U_3-U_2 \gt 0$
$U4−U3<0U_4-U_3 \lt 0$
$U5−U4>0U_5-U_4 \gt 0$
etc

La suite $U_n)$ n'est pas monotone (elle est alternativement décroissante, croissante).

Pour étudier sa convergence, il faut trouver autre chose que les propriétés des suites convergentes

Un outil possible : une suite $V_n)$ auxiliaire

Soit $Vn=Un−2Un+3V_n=\dfrac{U_n-2}{U_n+3}$ , pour $n∈N∗n\in N^*$ , avec la condition $Un≠−3U_n\ne -3$

Questions possibles :
i) Calculer $U_n$ en fonction de $V_n$
ii) Démontrer que $V_n)$ est géométrique
iii) En déduire les expressions de $V_n$ et $U_n$ en fonctions de n et la convergence de ces suites.

Quelques pistes à améliorer et compléter,

i) On trouve après calculs, $Un=3Vn+21−VnU_n=\dfrac{3V_n+2}{1-V_n}$
ii) $Vn+1=Un+1−2Un+1+3V_{n+1}=\dfrac{U_{n+1}-2}{U_{n+1}+3}$
En remplaçant $U_{n+1}$ par son expression en fonction de $U_n$ et en simplifiant, on trouve :
$Vn+1=−Un+24Un+12=−14(Un−2Un+3)V_{n+1}=\dfrac{-U_n+2}{4U_n+12}=-\dfrac{1}{4}\biggr(\dfrac{U_n-2}{U_n+3}\biggr)$

Donc $Vn+1=−14VnV_{n+1}=-\dfrac{1}{4}V_n$
De plus, $V1=3−23+3=16V_1=\dfrac{3-2}{3+3}=\dfrac{1}{6}$
$V_n)$ suite géométrique de premier terme $16\dfrac{1}{6}$ et que raison $q=−14q=-\dfrac{1}{4}$

iii) $Vn=16(−14)n−1V_n=\dfrac{1}{6}\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)^{n-1}$

$lim⁡n→+∞Vn=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}V_n=0$

$Un=12(−14)n−1+21−16(−14)n−1\boxed{U_n=\dfrac{\dfrac{1}{2} \biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)^{n-1}+2}{1-\dfrac{1}{6}\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)^{n-1}}}$

$lim⁡n→+∞Un=0+21+0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=\dfrac{0+2}{1+0}$

$lim⁡n→+∞Un=2\boxed{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=2}$

La suite $U_n)$ converge vers 2.

Bonne lecture.

Merci @mtschoon et Merci @Noemi

@Courtois , de rien !

J'ai complété ta question pour que l'exercice ait un sens...

Si tu regardes ce complément de près, la méthode pourra te servir pour la seconde partie de l'exercice que tu as posté récemment.