Géométrie dans l'espace

Bonjours,
J'ai vraiment du mal avec un exercice pourriez-vous m'aider.

Rappels du cours :
La droite (AB) dans l’espace est donc l’ensemble des points M de l’espace tels que ⃗ ⃗ AM= =⃗ ⃗ k AB ou ⃗⃗ AM= =k⃗ ⃗u si ⃗ u est un vecteur directeur de la droite.
(caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur) Le plan (A;⃗u,⃗ v) de l’espace est donc l’ensemble des points M de l’espace tels que ⃗ ⃗ AM= =k⃗ ⃗ u+ +k'⃗ ⃗v où ⃗ u et ⃗v sont les vecteurs directeurs du plan.
(caractérisation d’un plan par un point et un couple de vecteurs directeurs) P est le plan qui passe par le point A(2;1;−1) et de vecteurs directeurs ⃗ u(1;−1;0) et ⃗ v(2;0;1) d est la droite qui passe par le point N(−2;3;5) et de vecteur directeur ⃗ w(−1;2;−3)

a) Démontrer que la droite d et le plan P sont sécants.

b) Justifier que leur point d’intersection est le point K(−4;7;−1).
Pour cette dernière question, l’idéal est de retrouver ces coordonnées et non pas de vous en servir comme point de départ.

Même avec la leçon je n'y arrive pas.
Merci par avance

@Sopria-Belaidouni Bonjour,

a) Détermine l'équation du plan , puis un vecteur directeur du plan.
$AM→=ku→+kv→\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}$
${x−2=k+2k′;y−1=−k;z+1=k′\lbrace x-2=k+2k' ; y-1=-k ; z+1=k'$
Tu en déduis l'équation du plan

Puis tu démontres qu'un vecteur normal du plan n'est pas perpendiculaire à la droite.

b) Tu écris l'équation paramétrique de la droite et tu résous le système comprenant les équations de la droite et du plan;

Indique tes résultats ou solution, si tu souhaites une vérification.

@Noemi
Excusez moi cela fait 2h que j'essaye mais je ne comprend pas

@Sophie-reis

Pour la question a) A partir de :
${x−2=k+2k′;y−1=−k;z+1=k′\lbrace x-2=k+2k' ; y-1=-k ; z+1=k'$ ,
Tu déduis l'équation du plan : $x + y - 2 z - 5 = 0$ $(P)$
un vecteur normal au plan : $n→\overrightarrow{n}$ $(1; 1; - 2)$
Tu démontre que les vecteurs $n→\overrightarrow{n}$ et $w→\overrightarrow{w}$ ne sont pas orthogonaux en montrant que le produit scalaire est différent de 0.
$n→\overrightarrow{n}$ . $w→\overrightarrow{w}$ = $1×(−1)+1×2−2×(−3)=.....1\times (-1)+1\times2-2\times(-3) = .....$

b) Tu cherches une équation paramétrique de la droite d
$NM→=kw→\overrightarrow{NM}=k\overrightarrow{w}$ donne
$x = - 2 - k$
$y = 3 + 2 k$
$z = 5 - 3 k$

Pour déterminer le point d'intersection de P et de d, tu résous le système :
$x = - 2 - k$ (1)
$y = 3 + 2 k$ (2)
$z = 5 - 3 k$ (3)
$x + y - 2 z - 5 = 0$ (4)

En remplaçant dans (4) $x$ , $y$ , et $z$ par leur expression en fonction de $k$
tu trouves une équation qui dépend que de $k$ .
Sa résolution donne $k = 2$
Puis tu détermines $x$ , $y$ , et $z$ en remplaçant $k$ par sa valeur dans les 3 premières expressions.

@Noemi
Bonjour,
Je vous remercie pour ces explications très clair, bonne journée.