Déterminer trois termes consécutifs d'une suite arithmétique

[Joyca Le Boss]

Re : suites arithmétiques
Bonjour, je suis un étudiant en options Math Forte et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cet Suite car j'ai vraiment du mal a le résoudre. Voici l'énoncé : Si a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, que la somme de ces trois nombres vaut 18 et la somme de leurs inverses 23/30, détermine a, b et c.

Pouvez-vous me mettre sur la voie s'il vous plait ? Je dois le rendre ce Jeudi. Merci d'avance

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss Bonjour,

Si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ; si $r$ est la raison, on peut écrire
$a=b-r$

$c=b+r$
La somme permet de calculer la valeur de $b$.

Tu utilises la somme des inverses pour calculer la raison.

[Joyca Le Boss]

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[Joyca Le Boss]

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[Joyca Le Boss]

@Noemi ensuite doit t-on mettre sur le même dénominateur?

[Joyca Le Boss]

@Noemi J'ai trouver B= 6 ensuite que fait on? svp

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu utilises la relation avec les inverses.
Tu mets au même dénominateur, puis tu résous l'équation du second degré.

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc je met tout sur 30 vu que c'est égal a 23/30

[Joyca Le Boss]

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[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non

$\frac{1}{6-r}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+r}=\frac{23}{30}$
Réduis le terme de gauche au même dénominateur qui est $6(6-r)(6+r)$

[Joyca Le Boss]

@Noemi et ensuite j'addition le numérateur et j'isole pour trouver R et ensuite je remplace R dans b-r et b+r
est-ce correct ?

[Joyca Le Boss]

@Noemi j'ai trouvé r=6racinede3

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

A partir de l'équation :
$\frac{1}{6-r}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+r}=\frac{23}{30}$
Tu arrives à l'équation :
$30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)$

Développes, réduis puis résous cette équation.

[Joyca Le Boss]

@Noemi -R fois R =-R carré ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui
$(6-r)(6+r)=36-r^2$ c'est une identité remarquable.

[Joyca Le Boss]

@Noemi 23×6(6−r)(6+r) ici nous devons absolument commencer par les parenthese ou on peut faire 23 fois 6 directement et ensuite distribuer

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu peux faire $23\times 6$.

Tu peux aussi simplifier l'équation par 6, car le premier membre comprend 30.
Soit écrire :

$30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)$
$5[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times (6-r)(6+r)$
soit
$5(36+6r+36-r^2+36-6r)=23\times (36-r^2)$
.....

[Joyca Le Boss]

@Noemi A partir de la, pouvons nous distribuer le 5 dans la parenthèse et de l'autre par 23?

[Joyca Le Boss]

@Noemi J'ai trouver R= a la racine de 450 divisé par 17,est-ce normal?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non, Vérifie les calcul.
Tu dois trouver : $r^2=16$
soit $r=-4$ ou $r=4$,
Tu en déduis les trois termes de la suite.

[Joyca Le Boss]

@Noemi comment as tu fais pour trouver r carré=16?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

$30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)$
$5[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times (6-r)(6+r)$
soit
$5(36+6r+36-r^2+36-6r)=23\times (36-r^2)$
$5(108-r^2)=828-23r^2$
$23r^2-5r^2=828-540$
$18r^2=288$
$r^2=16$

[Joyca Le Boss]

@Noemi c bon j'ai trouver Rcarre = 16
ensuite que fait on?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu résous $r^2-16=0$
Deux solutions.
puis tu calcules la valeur de $a$ et $c$.

Puis tu conclus.

[Joyca Le Boss]

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[Joyca Le Boss]

@Noemi j'ai trouver (R-4).(R+4)

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui $r=-4$ et $r=4$ sont les solutions.
Tu aurais pu utiliser l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ pour trouver les deux racines.
Tu as trouvé les valeurs possibles pour la raison.
Remplace $r$ par sa valeur dans
$a=6-r$ et
$c=6+r$
Premier cas
$r=-4$
$a=...$
$b=...$
Deuxième cas
$r=4$
$a=...$
$b=...$

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc on a 2 valeur possible pour A et B ? on peut en écrire un seul ou pas ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu dois écrire les deux solutions possibles.

[Joyca Le Boss]

@Noemi et on fait comment pour l'inverse des 3 = 23/30. On remplace?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

J'ai indiqué ce qu'il fallait écrire. Complète les pointillés ....

On remplace $r$ par sa valeur dans
$a=6-r$ et
$c=6+r$
Premier cas
$r=-4$
$a=...$
$b=...$
Soit la suite ....

Deuxième cas
$r=4$
$a=...$
$b=...$
Soit la suite ....

[Joyca Le Boss]

@Noemi Cet démarche est également valable pour la somme de leurs inverses qui vaut 23/30 ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Lorsque j'ai indiqué :
$\frac{1}{6-r}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6+r}=\frac{23}{30}$
cela correspondant à :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{23}{30}$
en prenant compte le fait que $a$, $b$ et $c$ étaient les trois termes consécutifs d'une suite arithmétique et sachant que $b=6$
on reprend les indications du début,
soit
$a=6-r$
$c=6+r$
d'ou l'écriture de la première relation.

[Joyca Le Boss]

@Noemi ah oui!!!! et en mettant les 2 solutions de a et c ?

[Joyca Le Boss]

@Noemi Pour a = 2 et 10 et c vaut également 2 et 10 ! donc il suffit de remplace pour les 2 solutions !
Est-ce correct ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Deux solutions possibles ;
2; 6; 10
et
10; 6; 2

[Joyca Le Boss]

@Noemi et on a finis la ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui c'est la réponse.

Tu peux vérifier les deux conditions de l'énoncé.

[Joyca Le Boss]

@Noemi Merci Infiniment Madame Noemi pour votre aide !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

J'espère que tu as compris le raisonnement.

[Joyca Le Boss]

@Noemi Oui tout a fait !!! Sommes-nous obliger de le vérifier ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non la vérification n'est pas indispensable mais cela permet de voir que la solution trouvée correspond aux données de l'énoncé.
$2+6+10=18$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}=\frac{23}{30}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc la on doit mettre tout sur 30 c ca?

[Joyca Le Boss]

@Noemi C bon j'ai enfin compris grâce a vous, Merci @Noemi !!!!!

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Si tu veux vérifier que $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ est bien égal à $\frac{23}{30}$.
tu mets chaque termes de la somme sur 30.
soit
$\frac{15}{30}+\frac{5}{30}+\frac{3}{30}$

[Joyca Le Boss]

@Noemi Merci Infiniment !!!!