Déterminer trois termes consécutifs d'une suite arithmétique
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Joyca Le Boss dernière édition par Noemi
Re : suites arithmétiques
Bonjour, je suis un étudiant en options Math Forte et j'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cet Suite car j'ai vraiment du mal a le résoudre. Voici l'énoncé : Si a, b et c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, que la somme de ces trois nombres vaut 18 et la somme de leurs inverses 23/30, détermine a, b et c.Pouvez-vous me mettre sur la voie s'il vous plait ? Je dois le rendre ce Jeudi. Merci d'avance
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@Joyca-Le-Boss Bonjour,
Si aaa, bbb et ccc sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ; si rrr est la raison, on peut écrire
a=b−ra=b-ra=b−rc=b+rc=b+rc=b+r
La somme permet de calculer la valeur de bbb.Tu utilises la somme des inverses pour calculer la raison.
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@Noemi ensuite doit t-on mettre sur le même dénominateur?
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@Noemi J'ai trouver B= 6 ensuite que fait on? svp
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Tu utilises la relation avec les inverses.
Tu mets au même dénominateur, puis tu résous l'équation du second degré.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi donc je met tout sur 30 vu que c'est égal a 23/30
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Non
16−r+16+16+r=2330\dfrac{1}{6-r}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6+r}=\dfrac{23}{30}6−r1+61+6+r1=3023
Réduis le terme de gauche au même dénominateur qui est 6(6−r)(6+r)6(6-r)(6+r)6(6−r)(6+r)
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Joyca Le Boss dernière édition par Joyca Le Boss
@Noemi et ensuite j'addition le numérateur et j'isole pour trouver R et ensuite je remplace R dans b-r et b+r
est-ce correct ?
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@Noemi j'ai trouvé r=6racinede3
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A partir de l'équation :
16−r+16+16+r=2330\dfrac{1}{6-r}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6+r}=\dfrac{23}{30}6−r1+61+6+r1=3023
Tu arrives à l'équation :
30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)Développes, réduis puis résous cette équation.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi -R fois R =-R carré ?
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Oui
(6−r)(6+r)=36−r2(6-r)(6+r) = 36-r^2(6−r)(6+r)=36−r2 c'est une identité remarquable.
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Joyca Le Boss dernière édition par Joyca Le Boss
@Noemi 23×6(6−r)(6+r) ici nous devons absolument commencer par les parenthese ou on peut faire 23 fois 6 directement et ensuite distribuer
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Tu peux faire 23×623\times623×6.
Tu peux aussi simplifier l'équation par 6, car le premier membre comprend 30.
Soit écrire :30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)
5[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×(6−r)(6+r)5[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times (6-r)(6+r)5[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×(6−r)(6+r)
soit
5(36+6r+36−r2+36−6r)=23×(36−r2)5(36+6r+36-r^2+36-6r)=23\times (36-r^2)5(36+6r+36−r2+36−6r)=23×(36−r2)
.....
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi A partir de la, pouvons nous distribuer le 5 dans la parenthèse et de l'autre par 23?
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi J'ai trouver R= a la racine de 450 divisé par 17,est-ce normal?
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Non, Vérifie les calcul.
Tu dois trouver : r2=16r^2=16r2=16
soit r=−4r = -4r=−4 ou r=4r=4r=4,
Tu en déduis les trois termes de la suite.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi comment as tu fais pour trouver r carré=16?
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30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)30[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times 6(6-r)(6+r)30[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×6(6−r)(6+r)
5[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×(6−r)(6+r)5[6(6+r)+(6-r)(6+r)+6(6-r)]=23\times (6-r)(6+r)5[6(6+r)+(6−r)(6+r)+6(6−r)]=23×(6−r)(6+r)
soit
5(36+6r+36−r2+36−6r)=23×(36−r2)5(36+6r+36-r^2+36-6r)=23\times (36-r^2)5(36+6r+36−r2+36−6r)=23×(36−r2)
5(108−r2)=828−23r25(108-r^2)=828-23r^25(108−r2)=828−23r2
23r2−5r2=828−54023r^2-5r^2=828-54023r2−5r2=828−540
18r2=28818r^2=28818r2=288
r2=16r^2=16r2=16
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi c bon j'ai trouver Rcarre = 16
ensuite que fait on?
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Tu résous r2−16=0r^2-16=0r2−16=0
Deux solutions.
puis tu calcules la valeur de aaa et ccc.Puis tu conclus.
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Joyca Le Boss dernière édition par
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi j'ai trouver (R-4).(R+4)
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Oui r=−4r=-4r=−4 et r=4r=4r=4 sont les solutions.
Tu aurais pu utiliser l'identité remarquable a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b) pour trouver les deux racines.
Tu as trouvé les valeurs possibles pour la raison.
Remplace rrr par sa valeur dans
a=6−ra=6-ra=6−r et
c=6+rc=6+rc=6+r
Premier cas
r=−4r=-4r=−4
a=...a=...a=...
b=...b=...b=...
Deuxième cas
r=4r=4r=4
a=...a=...a=...
b=...b=...b=...
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Joyca Le Boss dernière édition par Joyca Le Boss
@Noemi donc on a 2 valeur possible pour A et B ? on peut en écrire un seul ou pas ?
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Tu dois écrire les deux solutions possibles.
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Joyca Le Boss dernière édition par Joyca Le Boss
@Noemi et on fait comment pour l'inverse des 3 = 23/30. On remplace?
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J'ai indiqué ce qu'il fallait écrire. Complète les pointillés ....
On remplace rrr par sa valeur dans
a=6−ra=6-ra=6−r et
c=6+rc=6+rc=6+r
Premier cas
r=−4r=-4r=−4
a=...a=...a=...
b=...b=...b=...
Soit la suite ....Deuxième cas
r=4r=4r=4
a=...a=...a=...
b=...b=...b=...
Soit la suite ....
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi Cet démarche est également valable pour la somme de leurs inverses qui vaut 23/30 ?
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Lorsque j'ai indiqué :
16−r+16+16+r=2330\dfrac{1}{6-r}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6+r}=\dfrac{23}{30}6−r1+61+6+r1=3023
cela correspondant à :
1a+1b+1c=2330\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{23}{30}a1+b1+c1=3023
en prenant compte le fait que aaa, bbb et ccc étaient les trois termes consécutifs d'une suite arithmétique et sachant que b=6b=6b=6
on reprend les indications du début,
soit
a=6−ra=6-ra=6−r
c=6+rc=6+rc=6+r
d'ou l'écriture de la première relation.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi ah oui!!!! et en mettant les 2 solutions de a et c ?
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Joyca Le Boss dernière édition par Joyca Le Boss
@Noemi Pour a = 2 et 10 et c vaut également 2 et 10 ! donc il suffit de remplace pour les 2 solutions !
Est-ce correct ?
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Deux solutions possibles ;
2; 6; 10
et
10; 6; 2
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi et on a finis la ?
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi Merci Infiniment Madame Noemi pour votre aide !
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J'espère que tu as compris le raisonnement.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi Oui tout a fait !!! Sommes-nous obliger de le vérifier ?
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Non la vérification n'est pas indispensable mais cela permet de voir que la solution trouvée correspond aux données de l'énoncé.
2+6+10=182+6+10=182+6+10=18
12+16+110=2330\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{23}{30}21+61+101=3023.
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi donc la on doit mettre tout sur 30 c ca?
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Joyca Le Boss dernière édition par
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Si tu veux vérifier que 12+16+110\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}21+61+101 est bien égal à 2330\dfrac{23}{30}3023.
tu mets chaque termes de la somme sur 30.
soit
1530+530+330\dfrac{15}{30}+\dfrac{5}{30}+\dfrac{3}{30}3015+305+303
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Joyca Le Boss dernière édition par
@Noemi Merci Infiniment !!!!
