INDÉPENDANCE et REMISE

[Courtois]

Bonjour
Un peu d'aide svp

Quand on tire une carte d'un jeu de 32 cartes , les deux événements A "obtenir un roi " et B obtenir un trèfle sont ils indépendants ?

B) Supposons maintenant qu'on tire 3 cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes . Quelle est la probabilité d'obtenie 2 rois exactement.

[Noemi]

@Courtois Bonsoir,

Pour répondre à la question A) Que peut-on dire de l'événement tirer le roi de trèfle ?
Combien y a t'il de roi dans un jeu de 32 cartes ?

[Courtois]

@Noemi
Bonjour Je pense qu'il y'a 4 rois non ?
La probabilité est donc 1/8

[Noemi]

@Courtois

Oui 4 rois,
Combien de combinaisons possibles de 2 rois parmi 4 ?
Combien de combinaisons possibles de 3 cartes parmi 32 ?

[mtschoon]

Bonjour,

@Courtois ,

Je regarde ce topic et j'ai l'impression que tu n'as pas abouti à la question A).

Il faudrait la terminer avant de passer à la B)
Soit A "tirer un roi"
Soit B "tirer un trèfle"
Comme tu l'a indiqué $p(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

Tu n'indiques pas ce que tu as trouvé pour $p(B)$
Il y a 8 trèfles donc $p(B)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$

Pour savoir si A et B sont indépendants , il faut savoir si :
$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$

L'évènement $A\cap B$ est "tirer le roi de trèfle"
Tu calcules donc $p(A\cap B)$ et tu tires la conclusion.

Peut-être as-tu terminé seul ton exercice.
Sinon, si tu as besoin, tiens nous au courant de ta réponse à la A) puis passe à la B).

[Courtois]

Bonjour @mtschoon @Noemi
Oui, en effet .
1/8 * 1/4 = 1/32
Or la probabilité de l'intersection est égal à 0
Donc les évènements sont incompatibles
Je ne sais pas si c'est correct

[Noemi]

@Courtois

Tu es sur que tirer le roi de trèfle est impossible ??

[Courtois]

@Noemi
S'il y'a le roi de trèfle cela veut dire qu'un seul cas est possible ; je me suis trompé
Par conséquent les évènements sont indépendants

[Noemi]

@Courtois

Donc les événements ne sont pas incompatibles mais ils sont indépendants.

[Courtois]

@Noemi Merci

[mtschoon]

Bonsoir,

Je reste perplexe sur la fin de la partie A)

$A\cap B$ est "tirer le roi de trèfle"
Il y a effectivement UN roi de trèfle dans le jeu de 32 cartes.
$p(A\cap B)=\frac{1}{32}$

Or, $p(A)\times p(B)=\frac{1}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{32}$

Donc :
$\boxed{p(A\cap B)=p(A)\times p(B)}$

Les évènements A et B sont indépendants.

Si l'on veut le prouver différemment, avec la probabilité conditionnelle
$p_B(A)$ est la probabilité de tirer un roi sachant il est un trèfle
Parmi les 8 trèfles, il y a un roi : $p_B(A)=\frac{1}{8}$
La probabilité de tirer un roi ( parmi 32 cartes ) est $p(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$

Donc :$\boxed{p_B(A)=p(A)}$

Don A et B sont indépendants.

[mtschoon]

Bonsoir
Je vois que, contrairement à ce qu'elle avait noté, Noemi a rectifié sa réponse pour tirer la conclusion "A et B sont indépendants."
Donc, tout est clair maintenant.

[Courtois]

@mtschoon Merci pour la précision
@Noemi Merci

[mtschoon]

@Courtois , de rien !

Quelques pistes , si besoin, pour la seconde question

Soir A l'évènement "obtenir 2 rois exactement"

Recherche du nombre total d'éventualités :
$card\Omega =32\times 32\times 32=32^3$

Recherche du nombre d'éventualités satisfaisant A :
On tire avec remise deux rois et un "non-roi"
Il y a 4 rois et 28 non-rois
Il y a 3 cas à envisager pour choisir la place de la carte "non-roi"

nombre d'éventualités du type (roi,roi "non-roi") : $4\times 4\times 28$
nombre d'éventualités du type (roi,"non-roi", roi) : $4\times 28\times 4$
nombre d'éventualités du type ("non-roi",roi ,roi) : $28\times 4\times 4$
Au total : $cardA=3\times 4^2\times 28$

$p(A)=\frac{cardA}{card\Omega }$
On simplifie et on compte.