Sachant que cos(80°)=a exprimer sin (40°) , cos(40°) et tan (40°) en fonction de a.

Bonjour, Pouvez-vous m'aider a résoudre cet exercices sur les formules d'addition et de duplication en trigo svp?
Voici l'énoncé : Sachant que cos(80°)=a exprimer sin (40°) , cos(40°) et tan (40°) en fonction de a.

@Joyca-Le-Boss Bonjour,

Cherche la formule trigonométrique qui présente les deux éléments.
Exemple : $cos(2a)=1-2sin^2(a)$
Isole $s i n (a)$ .

Bonjour, un complément si besoin.

Si j'ai bien lu la notation de l'énoncé , $a=cos80°\boxed{a=cos80°}$

Avec les formules de duplication,

$a=cos80°=2cos^2 40°-1$
donc $2cos^240$ °= $a + 1$
Tu divises par 2 et tu prends la racine carrée pour trouver $c o s 40 °$ en fonction de a.

De même
$a = c o s 80$ °= $1-2sin^2 40°$
donc $2sin^240°=...$ (tu complètes)
Tu divises par 2 et tu prends la racine carrée pour trouver $s i n 40 °$ en fonction de a

Pour $t a n 40 °$ , pense que $tan40°=sin40°cos40°tan40°=\dfrac{sin40°}{cos40°}$ et utilise les résultats que tu as trouvés pour $s i n 40 °$ et $c o s 40 °$

@Joyca-Le-Boss, tiens nous au courant de tes résultats pour vérification, si tu as besoin.

@mtschoon Pouvez-vous m'expliquer ,Pourquoi cos80°=2cos 2 40°−1
Je n'ai pas bien compris pourquoi ? svp

@Joyca-Le-Boss

Tu appliques la relation : $cos(2a) = 2cos^2a-1$
Si $a = 40 °$ , tu remplaces
$cos(80°) = 2cos^2(40°)-1$

@Noemi ah oui!!! merci

@Noemi ensuite on doit diviser par 2 des deux coté : 2cos 2 40°/2=a+1/2
Est-ce correct? ensuite que fait-on pour trouver cos40° en fonction de a.

@Noemi Pour Cos40 ,j'ai trouver -Cos80 -racine de 1
Est-ce correct ?

@Joyca-Le-Boss

$cos(80°) = 2cos^2(40°)-1$
$2cos^2(40°)=1+cos(80°)$
$cos2(40°)=1+cos(80°)2=1+a2cos^2(40°)= \dfrac{1+cos(80°)}{2} = \dfrac{1+a}{2}$
$c o s (40 °) = . . . . .$

@Noemi Ensuite on doit tout mettre sous la racine ,c'est ça ?
Et pourquoi avez -vous noter 1+a/2
ici cos 2 (40°)= 1+cos(80°)/2 = 1+a/2
et pas là 2cos 2(40°)=1+cos(80°) ?

@Joyca-Le-Boss

Il faut préciser que $c o s (40 °)$ est un nombre positif,
donc
$cos(40°)=1+a2cos(40°)=\sqrt\dfrac{1+a}{2}$

$c o s (80 °) = a$

@Noemi ah ok 1+cos(80°)/2 = 1+a/2 ok j'"ai compris maintenant merci

@Noemi et comment exprimer cos(80) en fonction de sin(40) ? svp
Personnelement,j'ai mis : cos(80) = 1-sin2(40)
2sin2(40) = 1+cos(80)
Ensuite que fait-on svp ?

@Joyca-Le-Boss

Tu utilises la relation indiquée dans mon premier post.
Tu appliques le même raisonnement que pour le calcul précédent.

@Noemi Personnelement,j'ai mis : cos(80) = 1-sin2(40)
2sin2(40) = 1+cos(80)
Ensuite que fait-on svp ?

@Noemi J'ai touver Sin(40)= la racine 1+a/2 donc pareil que le cos(40°) .Est-ce Normal?

@Joyca-Le-Boss

Une erreur de signe;
$cos(80°)=1-2 sin^2(40°)$
$2sin^2(40°)=1-cos(80°)= 1 - a$
$sin^2(40°)= .....$
$s i n (40 °) = . . . .$

@Noemi AH oui !!!Merci Et donc on trouve Sin(40)= la racine 1-a/2
Est-ce Correct Maintenant ?

@Joyca-Le-Boss

Oui

$2sin^2(40°)=1-cos(80°)= 1 - a$
$sin2(40°)=1−a2sin^2(40°)= \dfrac{1-a}{2}$

$\sqrt\dfrac{1-a}{2}....$

@Noemi et pour trouver la tan(40) = sin(40)/cos(40)= la racine de 1-a/2 divise par 1+a/2 = ....

@Joyca-Le-Boss

Simplifie l'écriture en multipliant numérateur et dénominateur par :
$1+a2\sqrt\dfrac{1+a}{2}$

@Noemi en les multipliants, fait on disparaitre les racines?.

@Joyca-Le-Boss

Oui c'est l'objectif, pas de racine au dénominateur.

@Noemi non en faite je parlais du numérateur !

@Joyca-Le-Boss

Fais le calcul et indique ta réponse.

@Noemi en faisant le calcul je trouve : la racine de 1-a/2 fois la racine de 1+a/2 ,ensuite je simplifie les racine et après je sais pas quoi faire ?

@Joyca-Le-Boss

$tan(40°)=1−a21+a2tan(40°)=\dfrac{\sqrt\dfrac{1-a}{2}}{\sqrt\dfrac{1+a}{2}}$

$tan(40°)=1−a21+a2×1+a21+a2tan(40°)=\dfrac{\sqrt\dfrac{1-a}{2}}{\sqrt\dfrac{1+a}{2}}\times \dfrac{\sqrt\dfrac{1+a}{2}}{\sqrt\dfrac{1+a}{2}}$

$tan(40°)=(1−a)(1+a)1+atan(40°)=\dfrac{\sqrt{(1-a)(1+a)}}{1+a}$