Vecteur dans l'espace

Bonjour, j'ai un peu de mal avec un exercice, peut-on m'aider.

Soit A (2;4;5)un point de l'espace et deux vecteurs u(1;2;3) et v (1;1;1)

démontrer que u et v ne sont pas colinéaires

Pour cette question voila comment j'ai procédé:
ux/vx = uy/vy = uz/vz =k
1/1 différent de 2/1 différent de 3/1 Donc u et v ne sont pas colinéaires

2)On nomme P le plan passant par le point A et dont la direction est engendrée par la base (u,v).
Soit M (x;y;z) un point quelconque de l'espace.
Justifier que M appartient au plan P ssi il existe deux réél t et t' tel que
x=2+t+t'
y=4+2t+t'
z=5+3t+t'
Donc c'est j'ai réfléchi est ce que c'est:

x=2+t+t'
y=4+2t+t'
z=5+3t+t'
C'est à dire tels que:
x-2=t+t'
y-4=2t+t'
z-5=+3t+t'

AM=(x-2;y-4;z-5)
Donc M appartient à P ssi il existe t et t' tels que AM=tu+t'u
Donc (A;y;v) est bien un repère du plan.

Si non ensuite je dois trouver les coordonnées de B du plan P quand t=2 et t'=-1

Donc est ce que je doit juste remplacer t et t' et calculer, ce qui me donnerais;
x=2+2+(-1)
y=4+2x2+(-1)
z=5+3x2+(1)
donc B(3;7;10)

est ce bien ça ?

@Rania-Belaidouni Bonjour,

Pour la question 2,
Tu pars de :
$AM→=tu→+t′v→\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{u} +t'\overrightarrow{v}$

Les coordonnées du point B sont correctes.

Merci, ensuite je dois justifier que le point d'intersection C entre P et l'axe des abscisse à pour coordonnées (-1;0;0)

Je ne sais pas quoi faire.

@Rania-Belaidouni

Tu dois déterminer les valeurs de t et t' telles que $y = 0$ et $z = 0$ .

est ce que c'est ça :

y=4+2t+t'
z=5+3t+t'
soit
y=4+2x0-4 t=0 et t'=-4
z=5+3x0+-5 t=0 et t'=-5

@Rania-Belaidouni

Non,
Tu résous le système :
$4 + 2 t + t^{'} = 0$
$5 + 3 t + t^{'} = 0$
soit
$2 t + t^{'} = - 4$
$3 t + t^{'} = - 5$

ha d'accord merci

Merci, j'ai compris, j'aurais juste une dernière question, je ne sais pas quoi faire pour la dernière question:
déterminer les coordonnées du pont D entre P et l'axe des côtés (O;vecteur k).

Je ne sais comment faire.

Est est ce que z=0

@Rania-Belaidouni

Dans ce cas, $x = 0$ et $y = 0$

Merci beaucoup, j'ai pus terminer le reste de mon exercice sans problème

@Rania-Belaidouni

C'est parfait.

Bonjour, dans la partie B de l'exercice on nous demande que les points M(1;3;4)
N(7;-4;2) et P(7;-3;4) définissent un plan. Pour celle ci, pas de problème, j'ai prouvé qu'ils n'étaient pas colinéaires.
Ensuite je doit trouver la représentation paramétrique d'un plan MNP en m'aidant de l'exercice précédent; j'ai trouvé :
x=1+6t+t'
y=3-7t+t'
z=4-2t
Est ce bien ça ?

Ensuite on nous donne la représentation par

désolé j'ai envoyé le message précédent sans avoir terminé de le rédiger

Ensuite on nous donne la représentation paramétrique de la droite (d):
x=9-k
y=-4+2k
z=1+k
Je dois justifier que la droite n'est pas parallèle au plan MNP.
Est-ce-que je dois trouver l'équation cartésienne du plan ?

Ou faut t'il que je trouve un point commun à (d) et (MNP)?

@Rania-Belaidouni

Cherche un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite et calcule le produit scalaire de ses deux vecteurs.

Vérifie le calcul de l'équation paramétrique du plan.

J'ai trouvé le vecteur normal du plan, c'est (2;2;1). Pour trouver un vecteur directeur d'une droite, je ne trouve pas comment faire. Est ce qu'il faut que je trouve l'équation cartésienne de la droite.

@Rania-Belaidouni

Vérifie les coordonnées du vecteur normal du plan.

Un vecteur directeur de la droite est (-1;2;1).

(MNP)
x=1+6t+t'
y=3-7t+t'
z=4-2t

(MN)= (6;-7;2)
(MP)=(6;-6;0)
n=(a;b;c)

n.MN sont orthogonaux donc:
n.MN=0
6a-7b+2c=0
n. MP sont orthogonaux donc:
n.MP=0
6a-6b+0=0

On résous le système:
6a-7b+2c=0
6a-6b=0

6x2-7x2+2x1=0
6x2-6x2=0

Soit a=2 ; b=2 ; c=1
donc n(2;2;1)

Voilà comment j'ai procédé pour trouver n.

@Rania-Belaidouni

Une erreur de signe pour le vecteur MN. c'est (6;-7;-2).

ah mince, merci.

Donc n (2;2;-1)
Ensuite comment je fais pour trouver le vecteur directeur de la droite (d)

@Rania-Belaidouni

C'est correct pour n.
J'ai indiqué le résultat pour le vecteur directeur de la droite.

Excusez moi, mais je ne vois pas.

@Rania-Belaidouni

Un vecteur directeur de la droite est (-1;2;1).

Les coefficients de k.

D'accord merci beaucoup.
Ce qui nous donne n.w=2x(-1)+2x2+1x(-1)=1 ,différent de 0 donc (d) est séquent à (MNP).

@Rania-Belaidouni

Oui, le plan est la droite sont sécants.

Merci, ensuite on me demande de déterminer les coordonnées du point d'intersection.

Il faut bien que je trouve l'équation cartésienne du plan. ?

@Rania-Belaidouni

Oui, utilise l'équation du plan.

J'aurais une ultime question, je dois déduire la position des planss (MNP) et (P). Est ce que je dois trouver le vecteur normal de (P) et je vérifie la colinéarité avec le vecteur normal de (MNP) trouvé précédemment ?

@Rania-Belaidouni

Tu peux déterminer la colinéarité des vecteurs.
Quelle est l'équation du plan P ?

Je sais que la représentation paramétrique de p est :
x=2+2t+t'
y=4+2t+t'
x=5+3t+t'
Mais je n'arrive pas à trouver l'équation. J'ai aussi les points
A, B et C, (2;4;5); (-3;7;10) et (-1;0;0)
Je peux calculer AB et AC pour trouver le vecteur normal de p?

Avec les points j'ai trouvé qu'il existe un vecteur normal à p avec (0;0;0), est ce que je peux faire quelque chose de ça ?

Et donc ça me ferait (MNP) avec comme vecteur normal n=(2;2;-1)
et (p) avec comme vecteur normal v=(0;0;0)
Donc ce qui nous donne 0/2 =0/2 = 0/-1 = 0
Donc les plans sont parallèle.
C'est bien ça ?

@Rania-Belaidouni

Vérifie tes calculs et les données de l'énoncé.

Il y a bien les points A; B et C (2;4;5) ; (3;7;10) et c (-1;0;0)
AB(1;3;5)
AC(-3;-4;-5)

On résous l'équation :
a+3b+5c=0
-3a-4b-5c=0
Soit
0+3x0+5x0=0
-3x0-4x0-5x0=0
Donc a=0; b=0 et c=0
Ce qui nous donne le vecteur v (0;0;0)

Ensuite on vérifie la colinéarité du vecteur v et du vecteur n (2;2;-1):
0/2=0/2=0/-1=0

Voilà comment j'ai fait, je n'arrive pas à trouver l'erreur.

@Rania-Belaidouni

Pourquoi ce choix de 0 ?
$a + 3 b + 5 c = 0$ (1)
$- 3 a - 4 b - 5 c = 0$ (2)
Par addition
(1)+(2) donne $- 2 a - b = 0$ , soit $b = - 2 a$
Puis tu remplaces dans la première équation
$a - 6 a + 5 c = 0$ soit $c = a$
D'ou un vecteur directeur est de la forme $(a; - 2 a; a)$
donc en prenant $a = 1$ cela donne ....