Exercice de Suite Géométrique !

[Joyca Le Boss]

Bonjour, Pouvez-vous m'aider a résoudre cet exercices ,J'ai fais les 3 premières et les figures ont été faite par moi-même
Voici l'exercice que j'ai commencé !


mais je n'arrive pas à faire les dernières pouvez m'aider svp ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss Bonjour,

Ecris l'énoncé et les questions..

[Joyca Le Boss]

@Noemi Je les ai déjà écris sur Word et ensuite je fais une capture d'écran.

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

C'est illisible, écris la première question.

[Joyca Le Boss]

@Noemi la première question soit ABCD un carré de coté a.

[Joyca Le Boss]

@Noemi la deuxième : Construire le carré dont les sommets sont les milieux du carré initial .
le troisième : Construire le carré dont les sommets sont les milieux du carré précédents.
et les dernières que j'ai pas réussi à faire : Calculer P2,P3,....P1+Pn.
: Calculer Sn = A1,A2,A3,....Ai ou Ai est mesure de l'aire du carré
: Calculer Sn = A1+A2+A3+....+An.
Déterminer la valeur de Sn et de S'n lorsque n tend vers l'infini.
Voila j'ai écrit tout les question.

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Le périmètre du premier carré $P_1=4a$
Pour le deuxième carré, il faut calculer la longueur d'un côté en fonction de $a$.
Soit $a\frac{\sqrt{2}}{2}$, d'ou le périmètre $P_2=....$
Pour le troisième carré, ....

[Joyca Le Boss]

@Noemi Vous avez fait comment pour trouver a racine de 2 sur 2

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu appliques la propriété de Pythagore $(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2=..$
ou la formule pour la diagonale d'un carré de côté $c$ : $c\sqrt{2}$

[Joyca Le Boss]

@Noemi ok et ensuite faut faire quoi svp ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu peux construire un tableau présentant le côté du carré, le périmètre puis l'aire.

$c_1=a$ ; $P_1=4a$ ; $A_1=a^2$
$c_2=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $P_2=2a\sqrt{2}$ ; $A_2=\frac{a^2}{2}$

$c_3=\frac{a}{2}$ ; $P_3=2a$ ; $A_3=\frac{a^2}{4}$

Exprime chaque terme à l'ordre $n$
$C_n=....$ ; $P_n=.....$ ; $A_n=.....$

Pour le calcul de la somme analyse les termes et détermine le type de suite.

[Joyca Le Boss]

@Noemi J'ai pas compris pourquoi vous avez divisé par la racine de 2 ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Pour le deuxième carré, pour calculer la longueur d'un côté, si tu appliques le théorème de Pythagore :
$(\frac{a}{2}{)}^2+(\frac{a}{2}{)}^2=\frac{2a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$
et si tu prends la racine carrée pour calculer la longueur d'un côté :
$c=\frac{a}{\sqrt{2}}$ que l'on peut aussi écrire $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi le deuxième carré c'est le losange ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

C'est un losange particulier car c'est un carré.

[Joyca Le Boss]

@Noemi et pour le troisième carré c'est la moitié du premier donc on divise par 2,Est-ce correct ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

On relie les milieux des côtés du carré précédent. On obtient un carré. On détermine la longueur d'un côté du nouveau carré, qui est égale à la longueur du côté du carré précédent divisée par $\sqrt{2}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi on doit encore divisé par racine de 2 ? Pourquoi ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

C'est le résultat.
Fais le calcul pour le troisième carré qui est construit à partir d'un carré de côté $\frac{a}{\sqrt{2}}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc si on suit votre procéder ,je divise a/la racine de 2 et encore par la racine de 2 ce qui donne a/2

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu obtiens ainsi la longueur du côté.

Calcule le périmètre et l'aire pour chaque cas.
Fais un tableau.

[Joyca Le Boss]

@Noemi là on a trouver les formules à utiliser pour les calculer mais nous avons pas de valeur pour a ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu dois faire les calculs en laissant a.
Exemple : la première ligne du tableau
$c_1=a$ ; $P_1=4a$ ; $A_1=a^2$

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc on doit pas trouver de nombre?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu dois trouver un résultat en fonction de $a$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc a restera neutre !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Que veux tu dire par neutre ?

[Joyca Le Boss]

@Noemi on doit trouver un nombre en fonction de a donc a et la valeur qu'on doit trouver c'est ca ?
mais ce que je n'ai pas compris c'est quel procéder devons-nous suivre pour trouver a ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Il n'est pas demandé de trouver $a$, mais de calculer le périmètre, l'aire en fonction de $a$.
Relis l'énoncé des questions.

[Joyca Le Boss]

@Noemi mais on a déjà trouver le périmètre et l'aire en fonction de a !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Complète le tableau avec $c_2$, $P_2$, $A_2$
jusqu'a : $c_n$, $P_n$, $A_n$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi ok je vais essayer

[Joyca Le Boss]

@Noemi ET on commence pas par C1,P1,A1

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui. tu commences par les premiers termes soit $C_1$, ....
Puis $C_2$, ....
Puis ....

Puis tu dois en déduire $C_n$, .....

[Joyca Le Boss]

@Noemi pourquoi ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

J'ai indiqué $C_2$ car j'ai indiqué en exemple la réponse pour $C_1$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi mais j'ai pas compris comment faire ce tableau pouvez-vous me donner un indice svp

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

J'ai déjà indiqué le début dans une de mes précédentes réponses.

$c_1=a$ ; $P_1=4a$ ; $A_1=a^2$

$c_2=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ ; $P_2=2a\sqrt{2}$ ; $A_2=\frac{a^2}{2}$

$c_3=\frac{a}{2}$ ; $P_3=2a$ ; $A_3=\frac{a^2}{4}$

Exprime chaque terme à l'ordre $n$
$C_n=....$ ; $P_n=.....$ ; $A_n=.....$

Pour le calcul de la somme analyse les termes et détermine le type de suite.

[Joyca Le Boss]

@Noemi c'est une suite géométrique et pour Cn je pense qu'on doit juste remplacer a par n
Est-ce correct
,

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Dans chaque cas, tu as une suite géométrique.

pour le côtés :
$C_n=\frac{1}{\sqrt{2}}{C}_{n-1}$
Idem pour le périmètre :
$P_n=\frac{1}{\sqrt{2}}{P}_{n-1}$

Cherche la relation pour l'aire.

Dans chaque cas, tu en déduis la relation en fonction de $n$
Puis tu peux calculer la somme en utilisant la relation de la somme pour une suite géométrique.

[Joyca Le Boss]

@Noemi donc c'est ca la relation pour les cotés et les périmètre mais pourquoi c'est 1/racine de 3

[Joyca Le Boss]

@Noemi Je suis pas sur mais pour la relation de l'aire j'ai trouver 1/2 en mettant au carré. Est-ce correct ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Pour l'aire la raison est bien $\frac{1}{2}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi et la relation de l'aire c'est quoi alors ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Si la raison est $\frac{1}{2}$, la relation est $A_n=\frac{1}{2}{A}_{n-1}$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi l'exercice est il finis ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non,

Il reste à exprimer $P_n$ et $A_n$ en fonction de $n$.
Puis calculer la somme la somme des périmètres et des aires.

Utilise les formules du cours.

[Joyca Le Boss]

@Noemi lequel ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Utilise la formule pour déterminer le terme général d'une suite géométrique et pour la somme de $n$ termes d'une suite géométrique.

[Joyca Le Boss]

@Noemi la formule pour déterminer le terme général d'une suite géométrique :

la somme de n termes d'une suite géométrique :

Voila les formules de mon cours

[Joyca Le Boss]

@Noemi Est-ce c'est formule ci que je dois utiliser ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Vérifie pour la première relation si cela correspond à une suite géométrique.

Va voir ce cours sur le site : https://www.mathforu.com/premiere-s/les-suites-en-1ere-s/

[Joyca Le Boss]

@Noemi ah oui je me suis tromper cet formule c'est celle d'une suite Arithmétique :

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Donc applique les formules.

[Joyca Le Boss]

@Noemi on a déjà exprimer Pn et An en fonction de n.
maintenant il nous reste plus cas calculer la somme des périmètres et des aires.

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Indique les résultats pour chaque termes en fonction de $n$ puis pour les sommes.

[Joyca Le Boss]

@Noemi Pour la formule de calcule de somme on doit le faire pour les 3 exercice suivant !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Tu fais les calculs pour le périmètre et l'aire.

[Joyca Le Boss]

@Noemi Pour ces 2 là : Calculer Sn = A1,A2,A3,....Ai ou Ai est mesure de l'aire du carré
: Calculer Sn = A1+A2+A3+....+An.

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Fais les calculs.

Pour le périmètre :
$P_1=4a$ , $P_2=2a\sqrt{2}$, ... , $P_n=4a(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^{n-1}$
la somme $S_n=4a\frac{1-(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4a\frac{(\sqrt{2}{)}^n-1}{(\sqrt{2}{)}^{n-1}(\sqrt{2}-1)}$

Applique le même raisonnement pour l'aire.

[Joyca Le Boss]

@Noemi Pouvez-vous m'expliquer comment vous êtes arriver à ce raisonnement svp ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

J'ai juste appliqué les formules.

$P_n=P_1\times q^{n-1}$ et

$S_n=P_1\frac{1-q^n}{1-q}$

[Joyca Le Boss]

@Noemi ok et maintenant je fais la même chose pour l'aire c'est ca !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui applique les mêmes formules.
Formules à retenir, il serait bien que tu te constitues des fiches résumées des cours.

[Joyca Le Boss]

@Noemi oui c vrai vous avez totalement raison

[Joyca Le Boss]

@Noemi A1 = a carré ,A2 = a carré / 2, A3 = a carré / 4
j'ai trouver pour An = a carré fois (1/2) exposant n-1
et Sn=a carré fois 1 - (1/2) exposant n diviser par 1-1/2 = 1-(1/2) exposant n diviser par 1/2 = 2.(1-(1/2) exposant *n)

Est -ce correct ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Le début est juste, il manque $a^2$ à la fin de $S_n^{\prime }$.
$S_n^{\prime }=2a^2(1-(\frac{1}{2}{)}^n)$.

Il te reste la dernière question.
Calculer la limite si $n$ tend vers $+\infty$.

Pour les aires : Si $n$ tend les $+\infty$, $(\frac{1}{2}{)}^n$ tend vers 0, donc $S_n^{\prime }$ tend vers $2a^2$.

Fais le même raisonnement pour $S_n$

[Joyca Le Boss]

@Noemi Sn c'est pour le périmètre ?
et (1/2) exposant n tend vers 0 car 1/2 est plus petit que 1 mais j'ai pas compris pourquoi S'n tend vers 2a carré ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

$S_n^{\prime }=2a^2(1-(\frac{1}{2}{)}^n)$.
si $n$ tend vers $+\infty$, $(\frac{1}{2}{)}^n$ tend vers 0 donc $(1-(\frac{1}{2}{)}^n)$ tend vers 1 et $2a^2(1-(\frac{1}{2}{)}^n)$ tend vers $2a^2$.

Oui $S_n$ c'est pour le périmètre, regarde l'énoncé.

[Joyca Le Boss]

@Noemi n tend vers - ∞ ,(1/racine de 2) exposant n tend vers -1, donc Sn tend vers 4a
Est-ce correct ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non, la somme des périmètres peut-elle être négative ?
Applique le même raisonnement avec $(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n$.

[Joyca Le Boss]

@Noemi je pense que le périmètre ne peut pas être négatif donc c'est +∞

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Non plus.

$S_n=4a\frac{1-(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Si $(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n$ tend vers 0, $S_n=.....$

[Joyca Le Boss]

@Noemi Sn tend vers 4a !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Et non
$S_n=4a\frac{1-(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Si $(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^n$ tend vers 0,

$S_n=4a\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4a\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=4a(2+\sqrt{2})$

[Joyca Le Boss]

@Noemi et donc on a finis ?

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss

Oui l'exercice est terminé. Il serait bien que tu reprennes tous les calculs pour bien comprendre le raisonnement.

[Joyca Le Boss]

@Noemi oui je le ferai ,merci infiniment pour votre aide !