devoir maison équation fonctionnelle

Bonjour, je suis totalement perdue face au devoir maison que je dois rendre à la rentrée, quelqu'un pourrait-il m'aider?

voici le devoir maison en question:

La fonction nulle, 𝑓 = 0 sur 𝐼, est-elle solution de (𝐸) ?
Démontrer que si 𝑓 est solution de (𝐸), alors pour tout réel 𝑘, la fonction 𝑘𝑓 est aussi solution de (𝐸).
Dans cette question, on suppose que 0 ∈ 𝐼. Soit 𝑓 une solution de (𝐸).
Démontrer qu’alors, pour tout 𝑏 ∈ 𝐼 : 𝑓(𝑏) = 0
À l’aide de valeurs de 𝑎 et 𝑏 bien choisies, démontrer que :
𝑓(1) = 0
Soit 𝑎 ∈ 𝐼. On considère la fonction 𝑔𝑎 définie sur 𝐼 par :
𝑔𝑎
(𝑥) = 𝑓(𝑎𝑥) − 𝑓(𝑥)
a. Justifier que 𝑔𝑎 est une fonction constante sur 𝐼 (on précisera la valeur de cette constante).

b. Donner deux expressions de 𝑔𝑎′(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.

c. En déduire que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 :
𝑎𝑓′(𝑎𝑥) − 𝑓′(𝑥) = 0

On pose 𝑓′(1) = 𝑘. Exprimer 𝑓′(𝑎) en fonction de 𝑘 et de a.

7.** Soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur 𝐼 = ]0 ; +∞[ vérifiant (𝑆). Démontrer que 𝑓 vérifie (𝐸) (on
pourra utiliser la fonction 𝑔𝑎 définie à la question 5).

Je vous remercie d'avance pour vos réponses!

@Romane-Chevalier , bonjour,

Tu as dû oublier d'écrire le début de l'énoncé car on ne sait pas de quelle équation (E) il s'agit...

@mtschoon
En effet, j'en suis désolée
Voici le début de l'énoncé:
Soit 𝐼 un intervalle. Le but de ce problème est la recherche des fonctions f, définies et dérivables sur 𝐼, qui
vérifient l’équation fonctionnelle (𝐸) suivante :
(𝐸) : pour tous 𝑎 et 𝑏 de 𝐼, 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏).
Autrement dit, on recherche toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes sur un intervalle
donné.

@Romane-Chevalier Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

@Noemi
Je n'ai répondu à aucunes questions car je n'y arrive pas.
Toutes les questions me posent problèmes.

@Romane-Chevalier

Si pour $x$ appartenant à $I$ , $f (x) = 0$
Que peut-on dire de $f (a)$ , $f (b)$ et $f (a b)$ ?

@Noemi
je n'en ai pas la moindre idée, mon niveau est vraiment catastrophique

@Romane-Chevalier

L'objectif de ce site n'est pas de faire les exercices à votre place, mais vous fournir des pistes de résolutions.
Tu es en terminale S, donc tu dois avoir quelques connaissances en mathématiques.
Qu'en on écrit $f (x) = 0$ cela signifie que quel que soit l'élément $x_i$ appartenant à l'intervalle $I$ , alors $f(x_i)=0$
Donc si $a$ appartient à l'intervalle alors $f (a) = . . . .$
Si $b$ appartient à l'intervalle alors $f (b) = . . .$
Que peut-on dire de $f (a b)$ ?

@Romane-Chevalier ,

Merci d'avoir compléter ton énoncé.

Pistes pour démarrer,

f étant la fonction nulle : $f (a) = 0$ et $f (b) = 0$ donc
$f (a) + f (b) = 0 + 0 = 0$

f étant la fonction nulle : $f (a b) = 0$

donc $f (a b) = f (a) + f (b)$ d'où la conclusion.

$k f (a b) = k [f (a) + f (b)] = k f (a) + k f (b)$

donc $k f$ est aussi solution de (E).

Réfléchis à ce début .
Comme indiqué par Noemi, ici, on aide mais on ne fait pas l'exercice.
Ce n'est pas le but
Indique tes pistes pour la suite et nous t'aiderons.

@mtschoon
Merci beaucoup pour votre réponse!

@Romane-Chevalier

Détaille bien la question 1 et la question 2

Je te mets des pistes pour la 3) et la 4) qu'il faudra expliciter.

En choisissant $a = 0$
$f (a b) = f (a) + f (b$ ) donc $f (0 b) = f (0) + f (b)$ donc $f (0) = f (0) + f (b)$
Tu déduis $f (b)$

Tu choisis $a = 1$ et $b = 1$ et tu utilises toujours
$f (a b) = f (a) + f (b)$

Tiens nous au courant .

@mtschoon
Merci c'est vraiment super!

@Romane-Chevalier

Pour la 4), j'espère que tu as trouvé $f (1) = 0$

Indique tes pistes pour la 5) (si tu en as) ou indique ce qui te bloque.

Bon travail !

Bonjour,

Visiblement, @Romane-Chevalier a terminé seul(e) son exercice.
Comme cet exercice semble intéressant ( et peut aboutir à utilisation du logarithme népérien), je me permet de donner des pistes pour la fin, pour consultation éventuelle.

Quelques pistes pour la fin,

a)
$g_a(x)=f(ax)-f(x)=f(a)+f(x)-f(x)=f(a)$
donc g est constante et a pour valeur f(a)

5)b)
En dérivant $g_a$ , on obtient $g'_a(x)=af'_a(x)-f'(x)$
Vu que $g_a$ est constante : $g'_a(x)=0$

5)c)
Conséquence : $afa′(x)−f′(x)=0\boxed{af'_a(x)-f'(x)=0}$

En appliquant la relation qui vient d'être trouvée pour $x = 1$ , on obtient : $a f^{'} (a) (1) - f^{'} (1) = 0$
on posant $f^{'} (1) = k$ , on obtient après calcul :
$f′(a)=ka\boxed{f'(a)=\dfrac{k}{a}}$
7)
L'énoncé ne dit pas ce que représente (S)..... ?
Un oubli sans doute. On va essayer d' imaginer...

Soit f fonction définie, dérivable sur $I=]0,+∞[I=]0,+\infty[$ vérifiant $f′(x)=kxf'(x)=\dfrac{k}{x}$ et $f (1) = 0$

On va prouver que f transforme les produits en sommes c'est à dire que $f (a x) = f (a) + f (x)$

On utilise la fonction $g_a$ définie à la question 5) comme l'indique l'énoncé.
$g_a(x)=f(ax)-f(x)$
$ga′(x)=af′(ax)−f′(x)=a×kax−kx=kx−kx=0g'_a(x)=af'(ax)-f'(x)=a\times \dfrac{k}{ax}-\dfrac{k}{x}=\dfrac{k}{x}-\dfrac{k}{x}=0$

Donc $g_a$ est constante : $g_a(x)=C$ avec $C$ constante réelle.

$f (a x) - f (x) = C$

Calculons $C$ : $g_a(1)=f(a)-f(1)=f(a)$

Donc $f (a x) - f (x) = f (a)$ , donc $f (a x) = f (x) + f (a)$

f transforme les produits en sommes donc vérifie (E)

CONCLUSION relative à l'équation fonctionnelle proposée :
Les fonctions trouvées qui transforment les produits en sommes sur l'intervalle $I=]0,+∞[I=]0,+\infty[$ sont les fontions f définies, dérivables sont I, et vérifiant :
$f′(x)=kxf'(x)=\dfrac{k}{x}$ avcc k réel et $f (1) = 0$

Complément non demandé

Nature de ces fonctions f définies à la question 7)

$f′(x)=kx=k×1xf'(x)=\dfrac{k}{x}=k\times \dfrac{1}{x}$ pour $\gt 0$

donc $f (x) = k l n (x) + K$ , avec $K$ constante réelle.

Déterminons $K$ qui vérifie $f (1) = 0$
Vu que $l n (1) = 0$ ,
$f (1) = k l n (1) + K = K$
$f (1) = 0$ <=> $K = 0$
Donc, pour $x>0x\gt 0$ , avec $k$ réel. $f(x)=kln(x)\boxed{f(x)=kln(x)}$

Illustration graphique des fonctions f, pour k entier compris entre -5 et 5
kln(x).jpg

Bonjour tout le monde!
Je sais que la discussion est assez ancienne, mais j'ai pratiquement le meme dm à faire et je bloque à certains endroits...
Voici le dm:

On se propose de caractériser les fonctions 𝑓 vérifiant pour tous réels 𝑎 et 𝑏 :
𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) (𝐸)
ANALYSE : soit 𝒇 une fonction solution de l'équation (𝑬)
Question 1 : on suppose que 𝒇 est définie en 0.
a/ Que vaut 𝑓(0)?
b/ En déduire que pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0.
Question 2 : on suppose dans toute la suite du problème que 𝒇 est définie et dérivable
sur ]𝟎; +∞[
a/ Soit 𝑎 ∈]0; +∞[. On pose pour 𝑥 ∈]0; +∞[∶ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎𝑥) − 𝑓(𝑥).
a/ Justifier que la fonction 𝑔 est une fonction constante.
b/ Donner deux expressions de 𝑔′(𝑥) pour tout 𝑥 > 0.
c/ En déduire que 𝑎𝑓′(𝑎) − 𝑓′(1) = 0.
Question 3 : détermination de 𝒇
a/ On pose 𝑓('1) = 𝑘. Exprimer 𝑓′(𝑎) en fonction de 𝑘 et de 𝑎.
b/ En déduire que pour tout 𝑥 > 0,
𝑓'(𝑥) =𝑘/𝑥.
c/ En déduire que si 𝑓 est définie et dérivable sur ]0; +∞[ et vérifie (𝐸) alors 𝑓 est d'un type
particulier. Lequel ?
SYNTHESE : soit 𝒇 une fonction définie sur ]𝟎; +∞[ par 𝒇(𝒙) = 𝑪 × 𝒍𝒏(𝒙).
Montrer 𝒇 est solution de (𝑬). Conclure en répondant au problème par une phrase

Je bloque à partir de la

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Pardon je n'avais pas fini...

je bloque à partir de la partie 3
pour la c)
pour la c), un certain type c'est à dire ? du style affine/ linéaire? Et puis pour la synthèse je suis complètement bloquée, pourriez vous me donner une piste?
Merci d'avance

@lu_lu , bonjour,

C'est difficile de se replonger dans un exercice qui date d'une année...je ne sais pas si je réponds exactement à tes questions...

Type de fonction f (conclusion de l'anayse)

Pour $x>0x\gt 0$ , $f (x) = k l n (x)$ , ave k constante réelle.

Tu peux dire de f est le produit de la fonction logarithme népérien par une constante réelle

Pour la synthèse

$f (x) = C l n (x)$ avec C constante réelle.

$f (a) = C l n (a)$
$f (b) = C l n (b)$
$f (a b) = C l n (a b)$

Tu sais que $l n (a b) = l n (a) + l n (b)$ donc :

$f (a b) = C [l n (a) + l n (b)] = C l n (a) + C l n (b)$

Donc $f (a b) = f (a) + f (b)$