Énigme de probabilité

Dans un hôtel, on distribue au hasard 5 clés à 5 clients pour entrer dans leur chambre.
Chaque clé n'ouvre q'une seule porte.
Quelle est la probabilité q'au moins un client puisse ouvrir sa porte?
Merci de me répondre.

@Jilali-Elasri Bonjour (marque de politesse à ne pas oublier !!!)

Vu que c'est au moins un client, calcule la probabilité de l'événement contraire, soit
aucun client puisse ouvrir sa porte.

@Noemi bonjour, merci pour votre réponse
J'ai déjà essayé cette méthode, mais il paraît que c'est pas la bonne. Qu'est ce que vous en pensez?

@Clara-Marinette

Si tu veux faire l'autre méthode, tu peux essayer mais tu as plusieurs calculs.
Un client, puis 2, puis trois, puis quatre.

Cherche le nombre d'arrangements possibles de 5 pièces parmi 5 cases.
puis le nombre de ceux qui comportent une clé au moins à la bonne place.

Tu peux imaginer un arrangement correct 1, 2, 3, 4, 5
Puis déterminer ensuite combien d'arrangement commence par 1 : 4!
Tous ces arrangements permettent d'ouvrir au moins une porte.

Puis tu détermines combien d'arrangement commence par 2 : 4!
Il faut déterminer ceux qui permettent d'ouvrir au moins une porte, 12.

Je te laisse poursuivre.

Indique tes résultats et/ou calculs si tu souhaites une vérification.

@Noemi merci beaucoup pour l'explication.
J'ai trouvé au final, la probabilité= 0,89
Est-ce que c'est bon?

@Clara-Marinette

C'est un peu élevé. Tu dois trouver 0,6.

Indique tes calculs.

@Noemi j'ai fait:

Le client 1 doit prendre une des 4 clés qui n'ouvrent pas sa porte: donc 4 possibilités
Le client 2 doit prendre une des 4 clés 1, 3,4,5 qui n'ouvrent pas: donc 4 possibilités
Le client 3 doit prendre une des 3 clés restantes qui n'ouvrent pas: 3 possibilités
Le client 4 prend une des 2 clés qui restent: 2 possibilités
Le client 5 prend la clé qui reste: 1
L'ensemble d'éventualités= 5!
Donc p(A barre)=4/5! + 4/5! + 3/5!+ 2/5! + 1/5!
Et p(A)= 1-p(A barre)= 0,89
C'est ce que j'ai fait.

@Clara-Marinette

Pour le client 2, tu as deux possibilités, soit la clé a été prise par le client 1, soit elle n'a pas été prise donc on ne peut pas indiquer 4 possibilités.

Pourquoi n'as tu pas poursuivi les indications de mon post en recherchant le nombre de cas possible ?

@Noemi j'ai travaillé d'après ce que j'ai compris de ton post,
S'il vous plaît, aidez-moi encore plus pour trouver la solution

@Clara-Marinette

Je reprends un message précédent :

Tu peux imaginer un arrangement correct 1, 2, 3, 4, 5
Puis déterminer ensuite combien d'arrangement commence par 1 : 4!
Tous ces arrangements permettent d'ouvrir au moins une porte.

Puis tu détermines combien d'arrangement commence par 2 : 4!
Il faut déterminer ceux qui permettent d'ouvrir au moins une porte, 13.

C'est le même calcul pour les arrangements commençant par 3, 4 et 5.
Donc le nombre de cas possibles est : $13\times 4= ....$
D'ou la probabilité : .....

@Noemi merci , c'est compris!
Juste une question, pour l'ensemble d'éventualités= 5! Ou 4!

@Clara-Marinette
5!

Bonjour,
Seulement une réflexion,

@Clara-Marinette , passer par l'évènement contraire (comme indiqué par Noemi) était une méthode très classique.
Tu trouves cette méthode souvent sur le Web au sujet de "chapeaux" ( exactement comme les "clés").

La recherche du nombre de façons pour qu'aucun client puisse ouvrir sa porte, s'appelle le nombre de "dérangements".

Je te mets un lien pour consultation éventuelle.
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsous.htm#:~:text=Permutation des éléments d'un,aussi%3A permutation sans point fixe.

Pour un ensemble de 5 éléments , le nombre de dérangements est $D (5) = 44$

Le nombre total d'éventualités est $5! = 120$

La probabilité de l' évènement contraire est donc : $44120\dfrac{44}{120}$

La probabilité cherchée est donc $1−44120=76120=19301-\dfrac{44}{120}=\dfrac{76}{120}=\boxed{\dfrac{19}{30}}$

C'est ce que tu as dû trouver avec la méthode que tu souhaitais.