Équations différentielle exercice 2

Exercice 2 :
Soit l’équation différentielle (E):
$(x - 1) y ’ + y = 2 x$ pour tout réel x de l’intervalle ]1;+infini[

Montrez que la fonction f définie sur ]1;+inf[ pour f(x) = $x^2)/(x-1)$ est une solution de (E)
Montrez que , quel que soit la constante C la fonction g:x-> g(x) = $C / (x - 1)$ est une solution de (E) : $(x - 1) y ’ + y = 2 x$
Montrez que pour tout C Réel h(x)= $f (x) + y (x)$ est une solution de (E)
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Pour le 1 ) j’ai calculer f’(x) et j’obtiens :
F’(x) = $2x)(x-1)-x^2]/(x-1)^2$ et je bloque pour les simplifications

@Iryezu Bonjour,

La dérivée est juste.
Simplifie l'expression : $\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Détermine $(x - 1) y^{'} + y = . . .$

Vérifie l'énoncé .

@Noemi j’ai vérifier l’énoncé et c’est bien l’énoncé du professeur (il s’est peut être tromper) .
J’ai obtenu :
$2x)(x-1)-x^2]/(x-1)^2$
$x^2-2x)/(x-1)$ (Le x-1 du haut s’annule et supprime un du bat ducoup le carre s’enlève , c’est ce que j’ai fait mais ce n’est pas ce que vous avez fait je ne sais pas si c’est juste du coup )
On remplace dans : (x-1)y’+y=2x
$x-1)*(x^2-2x)/(x-1)+(x^2)/(x-1)$
$x^2-2x+(x^2)/(x-1)$ et là je bloque car il y’a un x-1 en trop

@Iryezu mais en réfléchissant si je garde le
$x-1)^2$ eh bien il y’en a assez pour en supprimer un de plus et donc dissoudre la fraction .

@Iryezu
$(x−1)y′+y=x2−2xx−1+x2x−1=2x2−2xx−1(x-1)y'+y=\dfrac{x^2-2x}{x-1}+\dfrac{x^2}{x-1}= \dfrac{2x^2-2x}{x-1}$

Merci mschoon pour la correction de mon erreur.

@Noemi mais ducoup je ne vois pas où est passer le (x-1) qui était en facteur de y’

@Iryezu
$(x−1)y′=(x−1)×x2−2x(x−1)2=x2−2xx−1(x-1)y'=(x-1)\times \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}= \dfrac{x^2-2x}{x-1}$

@Noemi alors d’après vous le résultat de l’énoncé présentes une erreur?

@Iryezu

Voir la correction de mtschoon dans le message ci-dessous.

Bonjour,

@Noemi a dit dans Équations différentielle exercice 2 :

@Iryezu

Oui, car f(x) indiquée n'est pas solution de l'équation.

J'indique mes calculs,

Pour $x>1x\gt 1$

$f(x)=x2x−1f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$
Après calculs (dérivée d'un quotient) $f′(x)=x2−2x(x−1)2f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

D'où

$(x−1)f′(x)+f(x)=(x−1)(x2−2x)(x−1)2+x2x−1(x-1)f'(x)+f(x)=\dfrac{(x-1)(x^2-2x)}{(x-1)^2}+\dfrac{x^2}{x-1}$

$(x−1)f′(x)+f(x)=x2−2xx−1+x2x−1(x-1)f'(x)+f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x-1}+\dfrac{x^2}{x-1}$

$(x−1)f′(x)+f(x)=x2−2x+x2x−1(x-1)f'(x)+f(x)=\dfrac{x^2-2x+x^2}{x-1}$

$(x−1)f′(x)+f(x)=2x2−2xx−1(x-1)f'(x)+f(x)=\dfrac{2x^2-2x}{x-1}$

$(x−1)f′(x)+f(x)=2x(x−1)x−1(x-1)f'(x)+f(x)=\dfrac{2x(x-1)}{x-1}$

$(x−1)f′(x)+f(x)=2x\boxed{(x-1)f'(x)+f(x)=2x}$

f est solution (particulière) de l'équation $(x - 1) y^{'} + y = 2 x$

@Noemi , de rien !

Il y a que ceux qui ne font rien qui ne font pas d'erreur...

@mtschoon merci je venais de m’apercevoir que j’avais fait une faute sur la dérive car je n’avais pas mit le carre dans le (x-1) du dénominateur merci beaucoup .

@Iryezu

Tu peux poursuivre l'exercice. Pour la question 2., tu appliques le même raisonnement que pour la première question.

@Noemi est ce que je peux envoyer mes réponse en photo ?

@Iryezu , re-bonjour,

Pour la question 2) ,tu as dû faire une faute en copiant ton énoncé.

$g(x)=Cx−1g(x)=\dfrac{C}{x-1}$ n'est pas solution générale de (E) , mais de l'équation dite "sans second membre", c'est à dire :
$(x - 1) y^{'} + y = 0$

Tu dois donc calculer g'(x) et vérifier que

$(x - 1) g^{'} (x) + g (x) = 0$

@mtschoon en effet désolé je m'y suit prit un peu trop vite

@Iryezu

Il est préférable d'écrire les éléments de réponse directement sur le forum.
Proposer une photo est possible, si tu ne connais pas l'écriture en Latex et si la rédaction au niveau mathématique est compliquée.

@Noemi D'accord , pour la 2) :
c'est de la forme u/v et j'ai trouver :
$g'(x)=(-C)/(x-1)^2$
$x-1)*(-C)/(x-1)^2+C/(x-1)=(-C)/(x-1)+C/(x-1)=0$

Re-bonjour,

Tant que j'y suis, je regarde la question 3)

@Iryezu , tu as dû faire une faute en tapant.

C'est :
Montrer que pour tout C réel $h(x)=f(x)+g(x)\boxed{h(x)=f(x)+g(x)}$ est une solution de (E)

(f et la solution particulière de $(x - 1) y^{'} + y = 2 x$ trouvée à la question 1) et g est la solution générale de $(x - 1) y^{'} + y = 0$ trouvée à la question 2)
h sera la solution générale de $(x - 1) y^{'} + y = 2 x$

@mtschoon encore et toujours ahah merci et ducoup pour ma 2) c'est bon ?

@Iryezu , Oui ,c'est bon pour ton calcul de la 2)

Tu peux passer à la 3)

@mtschoon d'accord merci , cependant pour la 3) il faut alors que j'insère f(x) et g(x) dans h(x) puis que je trouve la derivé de h(x) pour pouvoir l'introduire des (E) ?

@Iryezu ,

Oui,

$h (x) = f (x) + g (x)$
$h^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$

Au final, tu dois trouver que :

$(x - 1) h^{'} (x) + h (x) = 2 x$

Ce message a été supprimé !

@mtschoon voilà le résultat et j’ai bel et bien trouver 2x a la fin . Ducoup est-ce bon ? (J’ai été contraint de le mettre en photo désolé car je ne savais pas comment retranscrire certaine étape )

@Iryezu , c'est bon pour la démarche. Bravo !

Evidemment, sur ta copie, il faudra rédiger mieux car il y a des mélanges entre "équivaut" et "égal".

Si un jour tu as le temps et l'envie de te mettre au Latex, je te mets un lien :
https://forum.mathforu.com/topic/163/comment-écrire-les-principales-expressions-mathématiques-work-in-progress

@mtschoon D'accord , merci beaucoup ;
la prochaine fois ca sera en Latex

D'accord, @Iryezu .
A bientôt, si tu as besoin.