Calculs de limites de fonction avec une fraction et une racine carrée

[Joyca Le Boss]

Bonjour , Pouvez-vous m'aidez à résoudre ces 4 limites , svp ou me les corriger, merci d'avance pour votre aide !!!

[Black-Jack]

On multiplie numérateur et dénominateur par (4 + V(x²-x+4))

(x²-5x+4) * (4 + V(x²-x+4)) = (x-1).(x-4).(4 + V(x²-x+4))

(4 - V(x²-x+4))(4 + V(x²-x+4))
= 16 - (x²-x+4)
= -x² + x + 12
= -(x-4)(x+3)

---> lim(x-->4) (x-4)(x+3)/[(x-1)(x-4).(4 + V(x²-x+4))]
= lim(x-->4) (x+3)/[(x-1).(4 + V(x²-x+4))]
= (4+3)/[(4-1).(4 + V16)
= 7/(3 * 8 )
= 7/24

---

Essaie les autres, en t'aidant de la limite ci-dessus.

[Black-Jack]

Bonjour,

Pour la 2)

Multiplier numérateur et dénominateur par [x - V(x²-4x-4)]
...

Pour la 3)

Multiplier numérateur et dénominateur par [V(x²-3x+6) + 4]
...

Pour la 4)

Multiplier numérateur et dénominateur par [V(x²+9) + 5] * [V(x²-5x+8) + 2]
...

Voila, il n'y a plus qu'à ...

[mtschoon]

Bonjour,

@Joyca-Le-Boss , seulement une remarque sur l'énoncé.

Lorsqu'on travaille sur une fonction f, quelque soit la question, on commence par chercher l'ensemble de définition (pour savoir quelles valeurs on peut donner à x pour que f(x) existe).

C'est surprenant que ce ne soit pas demandé...peut-être que l'exercice est seulement "calculateur de limites".

Si c'est un devoir à rendre, je te conseille de chercher les ensembles de définition avant les limites (à toi de voir, bien sûr, ça allonge le travail !)

Par exemple, pour la première :

Conditions d'existence :
$\{\begin{array}{l}{x}^2-x+4\ge 0\\ x^2-5x+4\ne 0\end{array}$
Après calculs :
$x^2-x+4\ge 0$ : vrai pour tout x réel
$x^2-5x+4\ne 0$ <=> $x\ne 1$ et $x\ne 4$

$D=R-${$1,4$}

Donc x peut tendre vers 4 par valeurs inférieures et par valeurs supérieures.

Bons calculs pour les limites et reposte si besoin.

[mtschoon]

Bonjour,
Je regarde la première limite

@Black-Jack a dit dans Pouvez-vous m'aidez à resoudre ces limites :

On multiplie numérateur et dénominateur par (4 + V(x²-x+4))

(x²-5x+4) * (4 + V(x²-x+4)) = (x-1).(x-4).(4 + V(x²-x+4))

(4 - V(x²-x+4))(4 + V(x²-x+4))
= 16 - (x²-x+4)
= -x² + x + 12
= -(x-4)(x+3)

---> lim(x-->4) (x-4)(x+3)/[(x-1)(x-4).(4 + V(x²-x+4))]
= lim(x-->4) (x+3)/[(x-1).(4 + V(x²-x+4))]
= (4+3)/[(4-1).(4 + V16)
= 7/(3 * 8 )
= 7/24

---

Essaie les autres, en t'aidant de la limite ci-dessus.

Je vois une erreur de signe vers la fin du calcul .
Il manque un "-"

Rectificatif :

En appelant f la fonction.

$\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{-(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-4)(4+\sqrt{x^2-x+4})}$

Après simplification par $(x-4)$

$\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{-(x+3)}{(x-1)(4+\sqrt{x^2-x+4})}$

$\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=\frac{-7}{3\times 8}=\boxed{-\frac{7}{24}}$

[Black-Jack]

@mtschoon a dit dans Pouvez-vous m'aidez à resoudre ces limites :

(x²-5x+4) * (4 + V(x²-x+4)) = (x-1).(x-4).(4 + V(x²-x+4))
(4 - V(x²-x+4))(4 + V(x²-x+4))
= 16 - (x²-x+4)
= -x² + x + 12
= -(x-4)(x+3)
---> lim(x-->4) (x-4)(x+3)/[(x-1)(x-4).(4 + V(x²-x+4))]
= lim(x-->4) (x+3)/[(x-1).(4 + V(x²-x+4))]
= (4+3)/[(4-1).(4 + V16)
= 7/(3 * 8 )
= 7/24

Erreur de signe ...

Yes, je suis contrit, enfin pas plus que cela devant le manque de réaction de l'aidé ... qui a un gros point noir à coté de son pseudo pour une aide future de ma part.
C'est à vous dégoûter d'intervenir pour aider des ingrats, de plus en plus présents sur les sites.

(x²-5x+4) * (4 + V(x²-x+4)) = (x-1).(x-4).(4 + V(x²-x+4))

(4 - V(x²-x+4))(4 + V(x²-x+4))
= 16 - (x²-x+4)
= -x² + x + 12
= -(x-4)(x+3)

---> lim(x-->4) -(x-4)(x+3)/[(x-1)(x-4).(4 + V(x²-x+4))]
= lim(x-->4) -(x+3)/[(x-1).(4 + V(x²-x+4))]
= -(4+3)/[(4-1).(4 + V16)
= -7/(3 * 8 )
= -7/24

[mtschoon]

@Joyca-Le-Boss , je t'indique les limites que tu dois trouver aux trois dernières limites, sauf erreur :
à la deuxième : $1$
à la troisième : $-12$
à la quatrième : $\frac{16}{15}$

Bons calculs.
Tiens noux au courant si problème.

[Joyca Le Boss]

@mtschoon voici mon raisonnement !

[Noemi]

@Joyca-Le-Boss Bonsoir,

L'écriture de la fonction est fausse. Il faut multiplier numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur.

[mtschoon]

Bonjour,

@Joyca-Le-Boss ,

Pour la première limite, l'explication a été donnée dans les premières réponses. Tu peux les consulter.

Je regarde ton brouillon.
L'ensemble de définition est bon (il faut aussi s'assurer que $x^2-x+4$ est positif , ce qui est le cas).
Il y a une indétermination du type $\frac{0}{0}$
Tu as bien compris qu'il faut factoriser numérateur et dénominateur par (x-4)
La factorisation de $x^2-5x+4$ est bonne.

Comme te l'a indiqué Noemi, la transformation utile, en multipliant numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée de $4-\sqrt{x^2-x+4}$, n'est pas bonne.

J'explicite un peu , en appelant f la fonction.

$f(x)=\frac{(4-\sqrt{x^2-x+4})(4+\sqrt{x^2-x+4})}{(4+\sqrt{x^2-x+4})(x^2-5x+4)}$

Tu développes le numérateur avec l'identité $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Ce qui te donne :
$f(x)=\frac{(16-(x^2-x+4)}{(4+\sqrt{x^2-x+4})(x^2-5x+4)}$
$f(x)=\frac{-x^2+x+12}{(4+\sqrt{x^2-x+4})(x^2-5x+4)}$
En factorisant numérateur et dénominateur , tu obtiens
$f(x)=\frac{-(x+3)(x-4)}{(4+\sqrt{x^2-x+4})(x-1)(x-4)}$

Il te reste à simplifer par (x-4) et déterminer la limite de l'expression simplifiée et tu trouveras $-\frac{7}{24}$

Refait tout ça correctement.
C'est cette méthode que tu dois utiliser pour les 3 autres limites.