Une question d arithmétique dans Z

[Mariem jabloun]

Bonsoir
j ai un petit problème a démontrer quelque chose
on a:
x∧y=1 , x∧(x+y)=1 , y∧(x+y)=1
montrer que : xy∧(x+y)=1

[Noemi]

@Mariem-jabloun Bonsoir,

L'énoncé est complet ? pas d'autres indications ?

[Black-Jack]

Bonjour,

Supposons k un diviseur de x et x + y.

k divise x + y − x = y
Et donc k divise x et y.

Comme x ∧ y = 1, on a k = 1 ---> x ∧ (x + y) = 1.

Les utilisations de x et y sont interchangeables dans l'énoncé, et donc on a aussi y ∧ (x + y) = 1.

Soit p un diviseur premier de x + y et xy.

--> p divise x ou p divise y. (Lemme d'Euclide)

Supposons que p divise x (la démo serait analogue évidemment si on supposait que p divise y ... puisque les utilisations de x et y sont interchangeables dans l'énoncé).

On a donc : p divise x et p divise x + y.
Comme x ∧ (x + y) = 1 alors cela signifie que p = 1... Ce qui est impossible puisque p est un nombre premier.

Ce qui permet de déduire qu'il n’existe pas de diviseur premier de x + y et xy ---> xy ∧ (x + y) = 1

[mtschoon]

Bonjour,

@Mariem-jabloun , seulement une remarque sur ton énoncé.

@Mariem-jabloun a dit dans SVP j ai besoin d aide a une question d arithmétique :

Bonsoir
j ai un petit problème a démontrer quelque chose
on a:
x∧y=1 , x∧(x+y)=1 , y∧(x+y)=1
montrer que : xy∧(x+y)=1

Par soucis de rigueur, il aurait été judicieux de préciser que x et y étaient des entiers relatifs.
J'imagine que c'était indiqué dans l'énoncé de ton manuel ou donné par ton professeur.

Autre remarque :
Si tu veux t'entraîner à l'arithmétique dans $Z$, je te mets un lien http://poiret.aurelien.free.fr/Mathematiques/Semestre_1/16-Arithmetique dans Z/TD_Arithmetique_dans_Z_cor.pdf

L'exercice dont tu parles est l'exercice 12.
Après les énoncés, tu as les solutions (y compris celle de l'exercice 12)

Bon travail.