Exercice limite, limite

Bonjour mes amis j'ai un exercice de limite que je le trouve dure un peut:
on considère la fonction Fm de R définie par: Fm(x)=(m-2)x3+3mx2-4x-6/x**2-1
ou m est un paramètre réel
1)Etudier suivant le paramètre m la limite de Fm en + l'infinie.
2)Etudier suivant le paramètre m la limite de Fm en 1.

@Meryam , bonjour
Je pense que tu as voulu écrire :

$fm(x)=(m−2)x3+3mx2−4x−6x2−1\boxed{f_m(x)=\dfrac{(m-2)x^3+3mx^2-4x-6}{x^2-1}}$

$D_f=R$ \ {-1,1}

Piste pour démarrer : limite en + $∞\infty$

Le dénominateur est du second degré.

Pour le numérateur , tout dépend de m

1er cas : $m = 2$ le numérateur est du second degré .
$f2(x)=6x2−4x−6x2−1f_{2}(x)=\dfrac{6x^2-4x-6}{x^2-1}$

La limite du quotient des termes de plus fort degré te donnera le résultat

2ème cas : $m≠2m\ne 2$ le numérateur est du troisième degré.

La limite du quotient des termes de plus fort degré te donnera le résultat.
( deux cas à voir, suivant que $m<2m\lt 2$ et $m>2m\gt 2$ )

Donne tes réponses si tu souhaites une vérification.

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@Meryam ,

J'espère que c'est bien l'expression que tu voulais écrire.

donnes moi une vérification s'il vous plait

@Meryam ,

Je ne comprends pas bien ta dernière phrase...
je ne peux pas faire de vérification de ta réponse vu que tu ne l'as pas donnée...

Piste,

En + $∞\infty$ , tu prends les termes de plus fort degré.

Pour $m = 2$ la limite cherchée est la limite de $6x2x2\dfrac{6x^2}{x^2}$ donc..

Pour $m≠2m\ne2$ la limite cherchée est la limite de $(m−2)x3x2\dfrac{(m-2)x^3}{x^2}$ donc ...

@Meryam , je te mets les réponses en + $∞\infty$ , mais le but est que ce soit toi qui les trouve...

Pour $m=2\boxed{m=2}$ , après simplification par $x^2$ , tu trouves
$lim⁡x→+∞f2(x)=6\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_2(x)=6$

Pour $m≠2m\ne 2$ après simplification par $x$ , tu cherches la limite de $(m - 2) x$

Donc deux cas :

$m<2\boxed{m\lt 2}$ , donc $m−2<0m-2\lt 0$
$lim⁡x→+∞fm(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_m(x)=-\infty$

$m>2\boxed{m\gt 2}$ , donc $m−2>0m-2\gt 0$
$lim⁡x→+∞fm(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f_m(x)=+\infty$

Regarde cele de près, indique si tu as compris, et si c'est le cas, passe à la limite en 1

je veux envoyer une capture de la 2 -ème cas limite en 1

@Meryam

L'idéal serait de l'écrire mais si tu as des difficultés avec le latex, envoie une photo de ta copie.

@Meryam

Comme la fonction n'est pas définie en 1, tu dois étudier 2 cas, si $x$ tend vers 1 mais supérieur à 1 et si $x$ tend vers 1 mais inférieur à 1.
Reprend tes calculs et analyse le signe du numérateur et du dénominateur. Tu précises ensuite si la limite est $+∞+\infty$ ou $−∞-\infty$ .

je trouve limite x tend vers 1+=+l'infinie /limite x tend vers 1-=+l'infinie aussi

@Meryam

Vérifie tes calculs.
si $x$ tend vers 1+, $x^2-1$ tend vers 0+.
(si $\gt1$ , $x−1>0x-1\gt0$ et $(x−1)(x+1)>0(x-1)(x+1)\gt0$
Si $x$ tend vers 1-, $x^2-1$ tend vers 0-
...
donc ....

1+=+l'infinie ;1-=-l'infinie

@Meryam

Il faut préciser dans quel cas tu obtiens ces résultats.
$m = 2$
$m≠2m\neq2$ et $m<2m\lt2$
$m≠2m\neq2$ et $m>2m\gt2$

@Meryam ,

Je regarde ta démarche en 1.

Cela n'a rien à voir avec le cas + $∞\infty$

Revois peut-être ce cas (et comprends pourquoi, en + $∞\infty$ , il a fallu différencier $m = 2$ et $m≠2m\ne 2$ ) .

Ici, l'étude $m = 2$ et $m≠2m\ne 2$ n'est pas pertinante (on ne cherche pas les termes de plus fort degré, il faut prendre la totalité du numérateur et du dénominateur).

Lorsque x tend vers 1, le dénominateur tend vers 0 ( par valeurs supérieures ou inférieures suivant que x est supérieur ou inférieur à 1)

Le numérateur tend vers $(m - 2) + 3 m - 4 - 6$ , c'est à dire $4 m - 12$ , c'est à dire $4 (m - 3)$

La discussion va porter sur $(m−3)\boxed{(m-3)}$ nul ou pas nul.

Premier cas à étudier : $m - 3 = 0$ c'est à dire $m=3\boxed{m=3}$

$f3(x)=x3+9x2−4x−6x2−1f_3(x)=\dfrac{x^3+9x^2-4x-6}{x^2-1}$

$f_3(x)$ prends la forme indéterminée $00\dfrac{0}{0}$

Pour lever l'idétermination, tu dois mettre $(x - 1)$ en facteur au numérateur et au dénominateur et simplifier par $(x - 1)$

Pour le dénominateur, c'est tout simple :
$x^2-1=(x-1)(x+1)$

Pour le numérateur, c'est plus compliqué.

Si tu connais la division euclidienne, tu peux l'utiliser.
Sinon, tu procède par identification :
$x^3+9x^2-4x-6=(x-1)(ax^2+bx+c)$

Regarde ce qui correspond à ton cours pour faire la factorisation et donne ta réponse pour cette factorisation.

Merci Mme/Mr

@Meryam ,

J'espère que tu es arrivé(e) (avec la méthode dont tu as l'habitude) à factoriser le numérateur.

Tu as dû trouver :
$x^3+9x^2-4x-6=(x-1)(x^2+10x+6)$

Ainsi , après simplification par (x-1) :
$f3(x)=x2+10x+6x+1f_3(x)=\dfrac{x^2+10x+6}{x+1}$

d'où $lim⁡x→1f3(x)=172\displaystyle \lim_{x\to 1}f_3(x)=\dfrac{17}{2}$

Ensuite, il te faudra faire le cas $m−3≠0m-3\ne 0$ que tu distingueras en deux sous-cas :
$m−3<0m-3\lt 0$ , c'est à dire $m<3\boxed{m\lt3}$
$m−3>0m-3\gt 0$ , c'est à dire $m>3\boxed{m\gt3}$

@Meryam ,
Remarque :
Si tu as besoin d'un cours pour la factorisation par identification, je te mets un lien :https://www.mathforu.com/premiere-s/factorisation-d-un-polynome-par-identification/

@Meryam , pour t'aider à terminer cet exercice, je te donne des pistes pour la limite cherchée dans le cas $m−3<0\boxed{m-3\lt 0}$ c'est à dire $m<3\boxed{m\lt 3}$

Dans ce cas, $4(m−3)<04(m-3)\lt 0$

Limite à gauche :
$lim⁡x→1,x<1(x2−1)=0−\displaystyle \lim_{x\to 1,x\lt 1}(x^2-1)=0^-$
donc (règle des signes)
$lim⁡x→1,x<1fm(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 1,x\lt 1} f_m(x)=+\infty$

Limite à droite :
$lim⁡x→1,x>1(x2−1)=0+\displaystyle \lim_{x\to 1,x\gt 1}(x^2-1)=0^+$
donc (règle des signes)
$lim⁡x→1,x>1fm(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to 1,x\gt 1} f_m(x)=-\infty$

Lorsque tu auras vu cela de près, il te restera, de la même façon, à étudier le cas $m−3>0\boxed{m-3\gt 0}$ c'est à dire $m>3\boxed{m\gt 3}$

Bon travail !

Mercie ,bon GRÂCE a vous l'exercice devient facile mais carrément il est un peu plus difficile. Ilya t-il des exercices sur votre site de meme type que ce dernier?

@Meryam , bonjour,

Les études de fonctions avec paramètre sont toujours délicates vu qu'il faut faire une discussion en fonction des valeurs du paramètre.

Tu peux faire éventuellement des recherches dans le forum ou sur le web.

Je pense avoir un exemple :
https://forum.mathforu.com/topic/30504/calcul-de-limites-fonction-rationnelle-avec-paramètre/5

Ici, il y a une vidéo:
https://www.youtube.com/watch?v=VmwOB0uvCeM

@mtschoon Merci

Bon entraînement, @Meryam !

@mtschoon s'il vous plait je besoin votre conseil mon niveau en mathématique est un peu faible qu'est ce que je peux faire pour l'améliore et Mercie encore une fois.

@Meryam , bonjour,

Je te donne seulement un avis "extérieur", car je ne connais pas assez bien où sont tes difficultés...

Je dirais qu'il faut prendre son temps et surtout ne pas "brûler les étapes".

Tout d'abord, bien comprendre le cours de ton professeur.
Pour chaque chapitre, faire une fiche de synthèse (courte) contenant définitions, propriétés, théorèmes (sans démonstrations) à revoir régulièrement.
Concrètement, tu fais ce qui te convient le mieux (fiches cartonnées, petit carnet, ...)
Personnellement, lorsque j'étais étudiante, j'étais adepte des carnets et ça m'a toujours réussi.

Ensuite, faire des exercices d'application directe du cours, très simples, te permettant de bien maîtriser le cours.
Ne pas sauter cette étape. Elle est essentielle.

Après, seulement après, faire des exercices plus difficiles , voire des exercices donnés au Bac.

Avec ce travail méthodique, je pense que tu progresseras, comme tu le souhaites.

Mercie est ce que 2h ou plus de travaille continue pendant toute la semaine est suffisant

@Meryam , bonjour,

Tu me poses une khôlle !
Je ne peux guère te répondre car j'ignore le travail de maths demandé par semaine par ton professeur.

Effectivement, consacrer une heure 30 ou deux heures pour fiche de synthèse et exercices d'application simples du cours pour apprendre le cours et apprendre à l'appliquer, me semble nécessaire.

Pour les exercices plus difficiles et type Bac, tu peux trouver d'autres crénaux horaires, mais tout dépend des exercices et DM demandés par ton professeur...Il ne faut pas les négliger !

Bonne organisation !

Beaucoup de gratitude