exercices types suites


  • P

    Bonjour vous pouvez m 'aider svp , je bloque à la question 4 a

    Soit (u) la suite définie par
    U0=1
    { Un+1 = 0,75Un +0.5

    1. Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite (un).

    2. Conjecturer la limite de la suite (un).

    3. Montrer que la suite (Un) n'est ni géométrique, ni arithmétique.

    4. Soit (vn) la suite définie par Vn=Un -2

    a) Montrer que la suite (vn) est géométrique. Indiquer la raison et le premier terme. b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn, puis un, en fonction de n.

    1. Démontrer que la suite (un) est croissante.
    2. Calculer la somme en fonction de n.

  • mtschoon

    @pouvens , bonjour,

    Pour le 4)a) qui te bloque :

    Tu dois calculer Vn+1V_{n+1}Vn+1 en fonction de VnV_nVn par l'intermédiaire de la suite (Un)(U_n)(Un)

    Vn+1=Un+1−2V_{n+1}=U_{n+1}-2Vn+1=Un+12
    Vn+1=075Un+0.5−2V_{n+1}=075U_n+0.5-2Vn+1=075Un+0.52
    Vn+1=075(Vn+2)+0.5−2V_{n+1}=075(V_n+2)+0.5-2Vn+1=075(Vn+2)+0.52

    Après cacul et simplification : Vn+1=0.75VnV_{n+1}=0.75V_nVn+1=0.75Vn

    (Vn)(V_n)(Vn) est géométrique de raison 0.750.750.75
    Premier terme : V0=U0−2=1−2=−1V_0=U_0-2=1-2=-1V0=U02=12=1

    Vn=V0×0.75nV_n=V_0\times 0.75^nVn=V0×0.75n


  • P

    D'accord merci beaucoup

    5 ) Pour tout nombre appartenant à N la suite Un est croissante car
    Un+1 est positive
    0.75Un supérieur à zéro
    0.5 supérieur à zéro.

    1. (U0*1-q exposant n)/1-q

  • N
    Modérateurs

    @pouvens Bonsoir,

    As-tu exprimer UnU_nUn en fonction de nnn ? question 4
    Question 5 : Pour les variations, démontre que : Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0Un+1Un>0


  • mtschoon

    Bonsoir,

    @pouvens ,
    Ta façon de démontrer que (Un)(U_n)(Un) est croissante est très bizarre

    Tu sais que Vn=(−1)(0.75)n=−(0.75)nV_n=(-1)(0.75)^n=-(0.75)^nVn=(1)(0.75)n=(0.75)n

    Un=Vn+2U_n=V_n+2Un=Vn+2 donc

    Un=−(0.75)n+2U_n=-(0.75)^n+2Un=(0.75)n+2
    Un+1=−(0.75)n+1+2U_{n+1}=-(0.75)^{n+1}+2Un+1=(0.75)n+1+2

    Tu continues pour trouver le signe de Un+1−UnU_{n+1}-U_{n}Un+1Un

    A la 6), tu dis "Calculer la somme en fonction de n".

    Précise : il s'agit de la somme de qui ? des termes de la suite (Un)(U_n)(Un) ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    @pouvens , pour le cas (probable) que la somme que tu cherches est du genre :
    Sn=U0+U1+U2+...+UnS_n=U_0+U_1+U_2+...+U_nSn=U0+U1+U2+...+Un, je te mets quelques pistes.

    Il y a (n+1) termes.

    Tu peux écrire :
    Sn=(V0+2)+(V1+2)+(V2+2)+...+(Vn+2)S_n=(V_0+2)+(V_1+2)+(V_2+2)+...+(V_n+2)Sn=(V0+2)+(V1+2)+(V2+2)+...+(Vn+2)

    puis, en regroupant :
    Sn=(V0+V1+V2+...+Vn)+2(n+1)S_n=(V_0+V_1+V_2+...+V_n)+2(n+1)Sn=(V0+V1+V2+...+Vn)+2(n+1)

    (Vn)(V_n)(Vn) étant une suite géométrique, tu dois connaître (voir cours) la formule donnant la somme
    (V0+V1+V2+...+Vn)(V_0+V_1+V_2+...+V_n)(V0+V1+V2+...+Vn)
    Si besoin, tu la trouves ici (Paragraphe 2 Suites géométriques
    Somme des termes consécutifs a)
    :
    https://www.mathforu.com/premiere-s/sur-les-suites-numeriques/


  • P

    pour Un+1 -Un J ai trouvé -(0.75)n -(0.75n*0.75)+4=4.75
    r est supérieur à 0 donc la suite est croissante


  • mtschoon

    @pouvens ,

    Je pense que tu as fait des erreurs de signe
    Un+1−Un=−(0.75)n+1+2+(0.75)n−2U_{n+1}-U_n=-(0.75)^{n+1}+2+(0.75)^n-2Un+1Un=(0.75)n+1+2+(0.75)n2
    Un+1−Un=−(0.75)n+1+(0.75)nU_{n+1}-U_n=-(0.75)^{n+1}+(0.75)^nUn+1Un=(0.75)n+1+(0.75)n

    Tu mets (0.75)n(0.75)^n(0.75)n en facteur

    Un+1−Un=(0.75)n(−0.75+1)=.....U_{n+1}-U_n=(0.75)^n(-0.75+1)=.....Un+1Un=(0.75)n(0.75+1)=.....


  • P

    0.75n +0.25


  • N
    Modérateurs

    @pouvens Bonsoir,

    Ce n'est pas une addition et nnn est en exposant.


  • P

    j 'arrive pas à mettre l'exposant


  • N
    Modérateurs

    @pouvens

    Un+1−Un=(0,75)n(−0,75+1)=0,25×(0,75)nU_{n+1}-U_n=(0,75)^n(-0,75+1)=0,25\times(0,75)^nUn+1Un=(0,75)n(0,75+1)=0,25×(0,75)n


  • P

    D'accord merci bcp


  • N
    Modérateurs

    @pouvens

    A partir de cette relation, tu peux justifier la croissance de la suite.

    Question 6 : Calcule la somme en suivant les indications de mtschoon.


  • P

    la suite est croissante pour tout n appartenant à N


  • mtschoon

    @pouvens , oui , c'est bon pour la croissance.

    Tu peux passer à la somme ( si c'est bien celle que j'ai indiquée) et regarde mes pistes.

    Il me semble qu'il y a tous les éléments nécessaires au calcul.


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