exercices types suites

Bonjour vous pouvez m 'aider svp , je bloque à la question 4 a

Soit (u) la suite définie par
U0=1
{ Un+1 = 0,75Un +0.5

Représenter graphiquement les 5 premiers termes de la suite (un).
Conjecturer la limite de la suite (un).
Montrer que la suite (Un) n'est ni géométrique, ni arithmétique.
Soit (vn) la suite définie par Vn=Un -2

a) Montrer que la suite (vn) est géométrique. Indiquer la raison et le premier terme. b) Pour tout entier naturel n, exprimer vn, puis un, en fonction de n.

Démontrer que la suite (un) est croissante.
Calculer la somme en fonction de n.

@pouvens , bonjour,

Pour le 4)a) qui te bloque :

Tu dois calculer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ par l'intermédiaire de la suite $U_n)$

$V_{n+1}=U_{n+1}-2$
$V_{n+1}=075U_n+0.5-2$
$V_{n+1}=075(V_n+2)+0.5-2$

Après cacul et simplification : $V_{n+1}=0.75V_n$

$V_n)$ est géométrique de raison $0.75$
Premier terme : $V_0=U_0-2=1-2=-1$

$Vn=V0×0.75nV_n=V_0\times 0.75^n$

D'accord merci beaucoup

5 ) Pour tout nombre appartenant à N la suite Un est croissante car
Un+1 est positive
0.75Un supérieur à zéro
0.5 supérieur à zéro.

(U0*1-q exposant n)/1-q

@pouvens Bonsoir,

As-tu exprimer $U_n$ en fonction de $n$ ? question 4
Question 5 : Pour les variations, démontre que : $Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0$

Bonsoir,

@pouvens ,
Ta façon de démontrer que $U_n)$ est croissante est très bizarre

Tu sais que $V_n=(-1)(0.75)^n=-(0.75)^n$

$U_n=V_n+2$ donc

$U_n=-(0.75)^n+2$
$U_{n+1}=-(0.75)^{n+1}+2$

Tu continues pour trouver le signe de $U_{n+1}-U_{n}$

A la 6), tu dis "Calculer la somme en fonction de n".

Précise : il s'agit de la somme de qui ? des termes de la suite $U_n)$ ?

Bonjour,

@pouvens , pour le cas (probable) que la somme que tu cherches est du genre :
$S_n=U_0+U_1+U_2+...+U_n$ , je te mets quelques pistes.

Il y a (n+1) termes.

Tu peux écrire :
$S_n=(V_0+2)+(V_1+2)+(V_2+2)+...+(V_n+2)$

puis, en regroupant :
$S_n=(V_0+V_1+V_2+...+V_n)+2(n+1)$

$V_n)$ étant une suite géométrique, tu dois connaître (voir cours) la formule donnant la somme
$V_0+V_1+V_2+...+V_n)$
Si besoin, tu la trouves ici (Paragraphe 2 Suites géométriques
Somme des termes consécutifs a) :
https://www.mathforu.com/premiere-s/sur-les-suites-numeriques/

pour Un+1 -Un J ai trouvé -(0.75)n -(0.75n*0.75)+4=4.75
r est supérieur à 0 donc la suite est croissante

@pouvens ,

Je pense que tu as fait des erreurs de signe
$U_{n+1}-U_n=-(0.75)^{n+1}+2+(0.75)^n-2$
$U_{n+1}-U_n=-(0.75)^{n+1}+(0.75)^n$

Tu mets $0.75)^n$ en facteur

$U_{n+1}-U_n=(0.75)^n(-0.75+1)=.....$

0.75n +0.25

@pouvens Bonsoir,

Ce n'est pas une addition et $n$ est en exposant.

j 'arrive pas à mettre l'exposant

@pouvens

$Un+1−Un=(0,75)n(−0,75+1)=0,25×(0,75)nU_{n+1}-U_n=(0,75)^n(-0,75+1)=0,25\times(0,75)^n$

D'accord merci bcp

@pouvens

A partir de cette relation, tu peux justifier la croissance de la suite.

Question 6 : Calcule la somme en suivant les indications de mtschoon.

la suite est croissante pour tout n appartenant à N

@pouvens , oui , c'est bon pour la croissance.

Tu peux passer à la somme ( si c'est bien celle que j'ai indiquée) et regarde mes pistes.

Il me semble qu'il y a tous les éléments nécessaires au calcul.