Calcul de composantes de vecteurs

Bonjour à toute l'équipe de Mathforu!
J'ai un problème pour calculer les composantes de vecteurs. Je ne sais pas comment les additionner/soustraire.

Je retranscris le problème ici (voir photo en pièce jointe ou le lien suivant (pdf):
http://www.gymomath.ch/javmath/polycopie/1MSt Géom vect.pdf
Il s'agit de l'exercice 1.27 à la page 19 - chapitre 1.):

Le problème:
Relativement à une base B de V2, on donne les vecteurs :
a = (5
-3)

b = (4
-4)

c = (1/2
0)

Calculer les composantes des vecteurs suivants :
a) 3a -4b +c
b) -5a -3b -8c
c) a - 2b + 1/2c

(a,b et c sont des vecteurs avec une flèche au-dessus des lettres)

Voici ce que j'ai déjà posé sur ma feuille:
On a une base B de V2 = (e1;e2)

On a 3 vecteurs:

a = (5e1;-3e2)

b= (4e1;-4e2)

c= (0.5e1;0e2)

Les règles:
a + b = (a1 + b1/a2+b2)
ka = (ka1/ka2)
a = b. -> a1 = b1 et a2 = b2

Je n'arrive pas à faire de lien entre les règles apprises et le problème. En particulier je n'arrive pas à additionner/ soustraire ces composantes de vecteurs.

Est-ce que quelqu'un aurait une piste pour m'aiguiller?

Avec mes meilleurs messages,
Florence
Screenshot 2021-09-23 at 09.49.19.png

@Flo-Flo Bonjour,

Pour : $\overrightarrow{a}- 4\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} =$
$(3×5−4×4+1×12;3×−3−4×(−4)+1×0)(3\times5-4\times4+1\times\dfrac{1}{2} ; 3\times-3-4\times(-4)+1\times0)$
= ...

Je te laisse faire les calculs et appliquer le même raisonnement pour les deux autres.

Bonjour,

@Flo-Flo , je te fais la disposition en colonnes comme c'est indiqué dans ton énoncé.
J'ignore si ce sera plus clair pour toi...
A toi de voir.

$3a→−4b→+c→3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ a pour composantes $3(5−3)−4(4−4)+(1/20)3\begin{pmatrix} 5\cr -3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix} 4\cr -4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1/2\cr 0\end{pmatrix}$

c'est à dire $(15−9)−(16−16)+(1/20)\begin{pmatrix} 15\cr -9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 16\cr -16\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1/2\cr 0\end{pmatrix}$

c'est à dire $(15−16+1/2−9+16+0)\begin{pmatrix} 15-16+1/2\cr -9+16+0\end{pmatrix}$

c'est à dire $(−1/27)\begin{pmatrix} -1/2\cr 7\end{pmatrix}$

Tu peux conclure que, dans la base $(e1→,e2→)(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$ :
$a→−2b→+12c→=−12e1→+7e2→\boxed{\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{c}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{e_1}+7\overrightarrow{e_2}}$

Dispose les calculs à ta guise (en lignes ou en colonnes) et fais les autres calculs de la même façon.

Bien sûr, reposte si besoin.

Un grand merci @mtschoon pour ton aide! Je vais effectivement réussir à calculer les deux autres maintenant que j‘ai compris celui-ci!
Je tiens également à vous remercier de votre rapidité!
Mille mercis!!!
Florence

@Flo-Flo ,

C'est parfait si tu as compris , mais comme ton texte est barré, on ne sait pas trop ce que ça veut dire...? ? ?

Peut être que tu t'es aperçue que tu n'avais pas bien compris...

@Flo-Flo , je t'indique les propriétés utilisées pour faire des combinaisons de vecteurs (dont on connait les composantes dans une base).

Je te mets les composantes en colonnes comme dans ton énoncé.

Multiplication d'un vecteur par un nombre $k$ ; on multiplie chaque composante par $k$
$k(ab)=(kakb)k\begin{pmatrix}a\cr b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka\cr kb\end{pmatrix}$

Somme de deux vecteurs : on fait la somme des composantes de même niveau
$(ab)+(cd)=(a+cb+d)\begin{pmatrix}a\cr b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c\cr d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c\cr b+d\end{pmatrix}$

Différence de deux vecteurs : on fait la différence des composantes de même niveau
$(ab)−(cd)=(a−cb−d)\begin{pmatrix}a\cr b\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}c\cr d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-c\cr b-d\end{pmatrix}$

On peut résumer ces propriétés en une seule formule générale

Combinaison linéaire de vecteurs : on fait la combinaison linéaire des composantes de même niveau

$k(ab)+k′(cd)−k′′(ef)=(ka+k′c−k′′ekb+k′d−k′′f)k\begin{pmatrix}a\cr b\end{pmatrix}+k'\begin{pmatrix}c\cr d\end{pmatrix}-k''\begin{pmatrix}e\cr f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka+k'c-k''e\cr kb+k'd-k''f\end{pmatrix}$

Avec cette révision, essaie de refaire le calcul effectué au a).

Ensuite, de la même façon, tu fais le b) et le c)

Pour le b), sauf erreur tu dois trouver, au final, $(−4127)\begin{pmatrix}-41\cr 27\end{pmatrix}$

Bons calculs.

@Flo-Flo

La réponse pour le c) est $(−11/45)\begin{pmatrix}-11/4\cr 5\end{pmatrix}$

Bonjour,

Exact pour le c) @Noemi.

Je viens de recompter car j'avais faire une erreur ; C'est bien $(5−8+1/4−3+8+0)=(−11/45)\begin{pmatrix}5-8+1/4\cr -3+8+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-11/4\cr 5\end{pmatrix}$

Espérons que @Flo-Flo qui a dû barrer son message car elle n'avait pas vraiment compris , va mieux comprendre maintenant.

@mtschoon et @Noemi merci pour vos explications!! J'avais bien compris mais mon message a été barré par erreur!!! Un grand merci pour votre aide, toujours très claire!!! C'est grandement appréciable!!!

@Flo-Flo ,

Tant mieux si ta réponse était barrée par erreur et si tu avais compris !
Cela a permis de donner des explications complémentaires.

Bon travail.

@mtschoon

La réponse était barrée car des caractères spéciaux étaient utilisés en début et fin de phrase.
J'ai supprimé ces éléments.

OK @Noemi.
C'est parfait ! Plus de barres...