résoudre inéquation quotient


  • Livindiam Livin

    Bonjour !

    je dois résoudre 2/x-3 - 3/x+2 >_ -1

    J'ai commencée par faire en sorte que ce soit supérieur ou égale à 0 en fesant passer le -1 de l'autre coté soit
    1+2/x-3 - 3/x+2 >_ 0

    Que dois je faire ensuite pour mettre tout au même dénominateur?

    Merci d'avance pour votre aide !


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin Bonjour,

    Le dénominateur commun est (x−3)(x+2)(x-3)(x+2)(x3)(x+2) donc met chaque terme avec ce dénominateur commun:
    111 devient (x−3)(x+2)(x−3)(x+2)\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+2)}(x3)(x+2)(x3)(x+2)

    Tu simplifies le numérateur puis tu étudies le signe de l'ensemble : numérateur et dénominateur


  • Livindiam Livin

    @Noemi d'accord merci pour votre aide !


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin

    Indique tes calculs et/ou résultat si tu souhaites une vérification.


  • Livindiam Livin

    @Noemi donc je multiplie par (x−3)(x+2)(x-3) et ensuite je résultat est car 1+2-3=0 ou est ce que je dévellope le 2 et le 3 ?


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin

    Non,

    Tu multiplies le numérateur et le dénominateur de chaque terme afin que le dénominateur soit égal à (x−3)(x+2)(x-3)(x+2)(x3)(x+2)
    Exemple :
    pour 2x−3\dfrac{2}{x-3}x32 tu multiplies numérateur et dénominateur par (x+2)(x+2)(x+2)
    soit : 2x−3=2(x+2)(x−3)(x+2)\dfrac{2}{x-3}= \dfrac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)}x32=(x3)(x+2)2(x+2)

    1+2x−3−3x+2=(x−3)(x+2)(x−3)(x+2)+2(x+2)(x−3)(x+2)−3(x−3)(x−3)(x+2)1+\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{3}{x+2}= \dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+2)}+\dfrac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)}-\dfrac{3(x-3)}{(x-3)(x+2)}1+x32x+23=(x3)(x+2)(x3)(x+2)+(x3)(x+2)2(x+2)(x3)(x+2)3(x3)
    =(x−3)(x+2)+2(x+2)−3(x−3)(x−3)(x+2)=....=\dfrac{(x-3)(x+2)+2(x+2)-3(x-3)}{(x-3)(x+2)}=....=(x3)(x+2)(x3)(x+2)+2(x+2)3(x3)=....

    Développe et simplifie le numérateur.


  • Livindiam Livin

    @Noemi alors au numératuer il y a x^2-1x-6+2(x+2)-3(x--3)


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin

    Développe et simplifie cette expression.


  • Livindiam Livin

    @Noemi alors au numérateur il y a x^2-2x+7


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin

    C'est correct.

    Cherche la forme canonique de ce polynôme.


  • Livindiam Livin

    @Noemi mais sachant que je dois étudier cette inéquation ne dois je pas chercher le discriminant ? car ensuite ej dois faire un tableau de signe


  • N
    Modérateurs

    @Livindiam-Livin

    Tu peux utiliser la méthode avec le discriminant.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Livindiam-Livin , quelques compléments si besoin.

    Avant de résoudre l'inéquation, tu dois savoir sur quel ensemble de nombres tu travailles.
    Ici, vu qu'il y a un quotient, tu dois imposer les conditions (dénominateur non nul) pour que le quotient existe.
    x−3≠0x-3\ne 0x3=0 <=> x≠3x\ne 3x=3
    x+2≠0x+2\ne 0x+2=0 <=> x≠−2x\ne -2x=2
    Tu cherches les solutions à cette inéquation sur D=RD= RD=R /{-2,3}.
    Si tu préfères, tu peux écrire : D=]∞,−2[∪]−2,3[∪]3,+∞[D=]\infty,-2[\cup ]-2,3[\cup]3,+\infty[D=],2[]2,3[]3,+[
    Cela doit être fait au début de l'exercice.

    Lorsque tu feras le tableau de signes, il faudra mettre une double barre pour x=−2x=-2x=2 et x=3x=3x=3 à la ligne relative au quotient .

    Si j'ai bien lu, d'après les calculs faits, l'inéquation s'écrit
    x2−2x+7(x−3)(x+2)≥0\dfrac{x^2-2x+7}{(x-3)(x+2)}\ge 0(x3)(x+2)x22x+70

    le numérateur est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est strictement négatif (tu dois trouver Δ=−24\Delta=-24Δ=24)
    Regarde ton cours :
    Dans ce cas, le polynôme est toujours du signe de a (coefficient de x2x^2x2)
    Ici a=1 donc x2−2x+7x^2-2x+7x22x+7 est strictement positif pour tout x réel.

    Il te reste à faire le tableau des signes et tirer la conclusion.

    Tu peux donner ta réponse si tu souhaites une vérification.


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin ,

    Si tu as besoin d'un rappel sur le signe d'un polynôme du second degré, tu peux regarder ici paragraphe II

    https://www.mathforu.com/premiere-s/le-second-degre-2eme-partie/


  • mtschoon

    @Livindiam-Livin , pour pouvoir vérifier ton tableau de signes, tu peux faire la représentation garphique de f définie par f(x)=x2−2x+7(x−3)(x+2)f(x)=\dfrac{x^2-2x+7}{(x-3)(x+2)}f(x)=(x3)(x+2)x22x+7 sur ta calculette et observer le signe de f(x) (au dessus ou au dessous de l'axe des abscisses)

    Remarque ; la représentation graphique de f est en bleu
    Les deux droites en rouge (d'équation x=3 et x=-2) ne font pas partie de la représentation grahique de f ; elles correspondent aus deux valeurs "interdites".
    Si tu connais, elles sont asymptôtes à la représentation de f.

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