devoir maison sur les intégrales et suites



  • Dans cette exercice, n est un entier naturel non nul.
    On considère la suite (Un(U_n ) définie par :

    UnU_n =int(de 0 à 2)(2t+3)/(t+2)e1/n2)(2t+3)/(t+2)e^{1/n} dt

    1°) a)Soit (ph)la fonction définie sur [0,2] par :

    (ph)(t) : (2t+3)/(t+2)
    étudier les variations de (ph) dans [0,2]

    sa je sais faire

    en déduire que pour tout réel, t, dans [0,2] :

    3/2 <= (ph)(t) <= 7/4

    je vois pas coment faire

    please aidez moi


  • Modérateurs

    salut constellation,
    c'est tout bête en fait comme tu viens de prouver que sur [0;2], la fonction est croissante, tu peux donc dire que sur cet intervalle :
    (ph)(0) <= (ph)(t) <= (ph)(2) et la solution tombe toute seule!



  • merci raycage.

    J'ai encore des questions dont je voudrais vérifier la réponse car je suis pas sûre de moi

    b)Justifier que, pour tous réel t dans[0;2], on a (3/2)e1/n(3/2)e^{1/n} <= (ph)(t) e1/ne^{1/n} <= (7/4)e1/n(7/4)e^{1/n}

    Il suffit de dire que e1/ne^{1/n} est positive sur [0;2]
    est ce que cé sa?

    c)Par intégration, en déduire que :

    3/2n(e2/n3/2n(e^{2/n} -1) <= UnU_n <= 7/4n(e2/n7/4n(e^{2/n} -1)

    Si j'ai bien compris le prof en cours, il faut appliquer le formule de l'intégration par parties.
    car on ne connait pas la primitive de e1/ne^{1/n}

    est ce que c'est cela?
    merci pour votre réponse.

    j'ai mis une fin d'exposant qui manquait et corrigé une faute de langage SMS


  • Modérateurs

    pour la première réponse je suis d'accord, pour la deuxième tu n'as pas besoin d'intégration par partie étant donné que la primitive de e(1/n) tu peux la calculer (essaie de dériver e(1/n) ça devrait te mettre sur la piste).



  • par intégration, il faut chercher une primitive de la fonction et non sa dérivée
    je n'ai pas compris ce que tu voulais dire

    d)On rapelle que lim quand h -> 0 (eh(e^h -1)/h = 1

    Montrer que, si (Un(U_n ) possède une limite L, alors

    3 <= L <= 7/2

    je vois pas du tout comment faire, je suis pas très forte avec les limites

    aidez moi svp
    merci pour ta réponse raycage


  • Modérateurs

    Oui effectivement tu cherches la primitive et non la dérivée, mais étant donné que (ex(e^x )'=ex=e^x la primitive de e1/ne^{1/n} est e1/ne^{1/n} avec un coefficient devant qu'il faut que tu trouves, pour ce faire, tu peux dériver e1/ne^{1/n} et voir quel coefficient il aurait fallu devant pour que tu tombes sur e1/ne^{1/n} en dérivant.
    Pour cette question d), tu dois reprendre l'encadrement que tu as fais de Un et prendre la limite en +inf/ de chaque membre.



  • d'accord je crois que j'ai compris

    la question suivante est :

    2°) a)

    Vérifier que pour tout t dans [0;2], on a :

    (2t+3)/(t+2)=2-(1/(t+2)

    il faut partir du second menbre pour arriver au premier
    cela, je sais faire

    En déduire l'intégrale de (ph) au borne 0 et 2 je sais faire aussi

    b)Montrer que pour tout t dans [0;2], on a :

    1 <= e1/ne^{1/n} <= e2/ne^{2/n}

    ici je ne vois pas

    aidez moi svp
    merci pour ta réponse raycage


  • Modérateurs

    n est un entier naturel non nul, il faut donc que tu montres que 0<1/n<2/n pour tout n de N*, ensuite comme la fonction exponentielle est croissante...



  • Après il faut en déduire que 1 <=Un=U_n <= $e^{2/n*1 je vois pas comment il faut faire? Puis il faut montrer que $U_n$ est convergente. Il faut dire que Un est décroissante et sa limite en -inf/ est 1 est ce que c'est cela? et il demande de déterminer la limite L je sais plus comment on fais jai encore deux exos à faire du même genre mais jai déjâ tout regardé et les questions où je veux être sûre, je les mets là merci encore pour votre aide }$



  • Salut

    Il y a quelque chose que je ne comprends pas, le facteur en exponentiel n ne dépend pas de t, dès lors pourquoi mettre une integrale ???
    Il n'y aurait pas une erreur d'énoncé (ou alors je suis encore à côté de la plaque)


  • Modérateurs

    n'aurais-tu pas fait une erreur d'énoncé, cet encadrement de Un me paraît très douteux, à moins que je comprenne mal le : e2/n1e^{2/n*1} , quoi qu'il en soit une suite n'a pas de limite en -inf/
    L'encadrement doit plutôt être :
    int((de 0 à 2)(ph)(t) <= Un <= e2/ne^{2/n} xint((0 à 2)(ph)(t) , tu remplaces l'intégrale par ce que tu as trouvé précédemment, tu prouves que Un est décroissante, or comme elle est minorée elle est convergente, puis tu utilises le théorème des gendarmes pour trouver la valeur de L.



  • Oui vous avez raison, j'ai fait une erreur, j'ai confondu le I avec le 1 c'est bien ce qu'à dit raycage.
    merci pour votre aide.


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