4. Exercice Maths expertes

Exercice Maths expertes

  • C

    Bonjour,
    J'ai un exercice en maths expertes à réaliser, mais j'ai quelques difficultées, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.
    Voici l'exercice :
    Soit a appartient N
    On considère la suite (Un) définie par: pour tout n appartenant a N, Un= (a+1)^n- an- 1.
    (^n j'ai mis ça pour dire que c'est puissance n)

    1. calculer les 4 premiers termes de (Un) et vérifier qu'ils sont tous divisibles par a².
    2. calculer, pour tout n appartenant N, Un+1 - (a+1)Un
    3. démontrer par récurrence que, pour tout n appartenant a N, a² divise Un.

    Voici ce que j'ai réussi à faire :

    1. U0= (a+1)⁰ - ax0 -1 = 1-0-1=0
      U1= (a+1)¹ -ax1-1 = a+1 -a-1= 0
      U2= ( a+1)² -ax2 -1=a²+2a+1-2a-1= a²
      U3= (a+1)³ -ax3-1 = a³+3a³+3a+1-3a-1= a³+3a²

    Je ne sais pas ensuite comment vérifier que ces divisibles par a²

    1. Un+1 - (a+1)Un
      = ( a+1)^n+1 - an+1 -1 - (a+1)(a+1)^n -an - 1
      = ( a+1)^n+1 - an+1 -1 - (a+1)^n+1 -an - 1
      = -an+1 -1 +an+1 = -an+1+an = 1
    2. pour cette question je ne sais pas comment m'y prendre.

    Merci de m'accorder de votre temps, j'espère que vous pourrez m'aider à réaliser cet exercice.
    Merci d'avance.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Celia Bonjour,

    Attention tu as écris 3a33a^33a3 à la place de 3a23a^23a2.

    Pour vérifier qu'ils sont divisible par a2a^2a2, il faut mettre a2a^2a2 en facteur.

    Question 2, attention aux parenthèses
    Un+1−(a+1)Un=(a+1)n+1−a(n+1)−1−(a+1)[(a+1)n−an−1]U_{n+1}-(a+1)U_n=(a+1)^{n+1}-a(n+1)-1-(a+1)[(a+1)^n-an-1]Un+1​−(a+1)Un​=(a+1)n+1−a(n+1)−1−(a+1)[(a+1)n−an−1]
    =(a+1)n+1−an−a−1−(a+1)n+1+a2n+a+an+1=(a+1)^{n+1}-an-a-1-(a+1)^{n+1}+a^2n+a+an+1=(a+1)n+1−an−a−1−(a+1)n+1+a2n+a+an+1

    Je te laisse poursuivre le calcul.

    Pour la question 3, suis les étapes indiquées dans le cours pour démontrer par récurrence.

    C 1 réponse
  • C

    @Noemi
    Bonjour, merci pour votre aide.
    a la question 2 j’ai trouvée a^2 n
    pouvez vous m’aider pour la question 3, voici ce que j’ai réussi à faire :
    Soit P(n) : quelque soit n appartenant a N, a^2/ Un
    Initialisation:
    n=0
    U0= 0
    et a^2/0 car 0=0xa^2
    Donc P(0) est vrai

    Hérédité : On suppose que a^2/Un est vraie et on va montrer que a^2/Un+1 est encore vraie.

    Je ne sais pas quel calcul entreprendre pour résoudre l’hérédité.

    Merci d’avance pour votre aide.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Celia

    Un+1=(a+1)n+1−a(n+1)−1U_{n+1}=(a+1)^{n+1}-a(n+1)-1Un+1​=(a+1)n+1−a(n+1)−1
    Un+1=(a+1)(a+1)n−an−a−1=Un+a(a+1)n−aU_{n+1}=(a+1)(a+1)^n-an-a-1=U_n+a(a+1)^n-aUn+1​=(a+1)(a+1)n−an−a−1=Un​+a(a+1)n−a
    =Un+a[(a+1)n−1]=U_n+a[(a+1)^n-1]=Un​+a[(a+1)n−1]

    je te laisse poursuivre et conclure.

    C 1 réponse
  • C

    @Noemi
    Bonsoir,
    Je ne comprend pas pourquoi dans votre dernière égalité on a Un-a… et pas Un+a…. ?

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Celia

    Une erreur de frappe corrigée.

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