SVP j ai besoin d aide dans un exercice de suites réelles

Bonsoir,
j ai difficultés a répondre a la question suivante
fn(x)=x^3-2nx+1
fn(an)=0
fn+1(an)=-2an
Montrer que la suite an est decroissante et que an<=(1/n)

@Mariem-jabloun Bonsoir,

L'énoncé est-il complet ?
Pour montrer la décroissance, étudie d'abord les variations de la fonction.
Pour la deuxième question, utilise le fait que $f_n(a_n)= 0$ .

Bonjour,

@Mariem-jabloun , sur le web, je viens de trouver un énoncé qui ressemble au tien mais avec des conditions supplémentaires.
Je l'indique :
Pour tout entier naturel n>= 2, soit fn la fonction définie sur [0;1] par fn(x)=x^3-2nx+1.
a)démontrer que l'équation fn(x)=0 admet une unique solution An dans l'intervalle [0;1].
b)démontrer que pour tout entier naturel n>=2 , An<= 1/n.
(il y a ensuite une question relative à la limite de An)

Ces conditions sont-elles indiquées dan ton énoncé ?

Bonjour, voici tout l énoncé
pour tout entier n=>2 ,on pose fn(x)=x^3-2nx+1.
1-montrer que fn est strictement décroissante sur[0,1]
2-prouver que fn(x)=0 admet une unique slotuion an dans ]0,1[
3-a/verifier que pour tout n=>2 fn+1(an)=-2an
b/montrer que la suite (an) est décroissante
c/deduire que la suite (an) est convergente
4-a/montrer que pour tout an<=1 , an<=1/n
b/ preciser la limite de an

@Mariem-jabloun , d'accord pour l'énoncé,

Quelques pistes pour démarrer,

$n≥2n\ge 2$ et $f_n(x)=x^3-2nx+1$ pour $x∈[0,1]x\in[0,1]$

$f'_n(x)=3x^2-2n$

Tu prouves que $fn′(x)<0f'_n(x) \lt 0$

Pour cela :

$x2≤1x^2\le1$ donc $3x2≤33x^2\le 3$
$n≥2n\ge 2$ donc $−2n≤−4-2n\le -4$

En ajoutant membre à membre :

$3x2−2n≤3−43x^2-2n\le 3-4$ donc $3x2−2n≤−13x^2-2n\le -1$ donc $3x2−2n<03x^2-2n\lt 0$ donc $fn′(x)<0f'_n(x) \lt 0$

$f$ est strictement décroissante sur [0,1]

$f_n(0)=1$
$f_n(1)=2-2n=2(1-n)$
Vu que $n≤2n\le 2$ , $f(1)<0f(1)\lt 0$

f est définie, dérivable donc continue et strictement décroissante de $[0, 1]$ vers $[2 (1 - n), 1]$

$0∈[2(1−n),1]0\in [ 2(1-n), 1]$ donc, avec le théorème des valeurs intermédiaires , tu peux conclure qu'il existe une valeur $a_n$ de [0,1] telle que $f_n(a_n)=0$

(Tu peux faire le tableau de variation de $f_n$ sur [0,1] pour mieux comprendre, si besoin.)

Essaie de poursuivre et demande si besoin.

@mtschoon
j ai déjà fait tous ça mais j ai pas arriver a montrer que la suite an est décroissante
aussi a montrer que an<=1/n

@Mariem-jabloun ,

Une autre fois, avec l'énoncé, indique ce que tu as déjà fait pour éviter de le refaire pour rien...

Piste, pour prouver que (a_n) décroissante.

$f_{n+1}(a_{n+1})=0$
$f_{n+1}(a_n)=-2a_n$ donc $fn+1(an)<0f_{n+1}(a_n) \lt 0$

donc : $fn+1(an)<fn+1(an+1)f_{n+1}(a_n) \lt f_{n+1}(a_{n+1})$

or, $f_{n+1}$ est décroissante;

On inverse l'ordre , d'où : $an+1<ana_{n+1} \lt a_n$

@mtschoon
merci beaucoup
pourriez vous m aider a l autre question 4-a

@Mariem-jabloun ,

Piste pour montrer que $an≤1na_n\le \dfrac{1}{n}$

Par exemple,

$fn(an)−fn(1n)=0−fn(1n)=−fn(1n)f_n(a_n)-f_n(\dfrac{1}{n})=0-f_n(\dfrac{1}{n})=-f_n(\dfrac{1}{n})$

En calculant $−fn(1n)-f_n(\dfrac{1}{n})$ , tu dois trouver :

$−fn(1n)=1−1n3-f_n(\dfrac{1}{n})=1-\dfrac{1}{n^3}$

donc : $fn(an)−fn(1n)=1−1n3f_n(a_n)-f_n(\dfrac{1}{n})=1-\dfrac{1}{n^3}$

Tu justifies que : $1−1n3≥01-\dfrac{1}{n^3}\ge 0$

donc : $fn(an)−fn(1n)≥0f_n(a_n)-f_n(\dfrac{1}{n}) \ge 0$

donc : $fn(an)≥fn(1n)f_n(a_n)\ge f_n(\dfrac{1}{n})$

Vu que $f_n$ est décroissante, on inverse l'ordre :

$an≤1na_n \le \dfrac{1}{n}$

CQFD.

@Mariem-jabloun ,

Je pense que tu n'auras pas de difficulté pour terminer,

$a_n)$ suite décroissante et minorée par 0 donc convergente.

Avec la réponse à la 4)a), tu auras la limite cherchée.

@mtschoon
oui ça va pour les autres questions
Merci beaucoup

De rien @Mariem-jabloun et bon travail !