Calcul de limite avec arcsin

Bonjour, je dois faire ces deux limites mais je ne vois pas comment m'y prendre avec arctan et les racines carrées.

Merci d'avance pour votre aide.

a) $lim⁡x→+∞x+arctanxx+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sqrt x+arctanx}{\sqrt x+1}$

b) $lim⁡x→0sin(2x)−2sinxx3\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{sin(2x)-2sinx}{x^3}$

Relations écrites en Latex par la modération.

@Ceilan Bonjour,

Quelles formules usuelles utilises tu pour le calcul de limite ?

Des pistes :
pour a) mettre $x\sqrt x$ en facteur au numérateur et dénominateur.
pour b) utiliser $s i n (2 x) = 2 s i n (x) c o s (x)$
et les limites à connaitre sur les fonctions trigonométriques.

@Noemi Bonjour,
J'ai trouvé que arctan x etait egal à pi/2

Du coup pour le (a) j'ai trouvé que cetait une forme indeterminée +oo/+oo

Il faut alors factoriser par sqrt(x) ?

Ca me donne : sqrt(x) ( 1 + (arctan(x) / sqrt(x) ) / sqrt(x) ( 1 + ( 1 / sqrt(x) )

= 1 + ( arctan(x) / sqrt (x)) / 1 + ( 1 / sqrt(x) )
tend vers 1 ? tend vers 1 ?

La limite est donc 1 ?

@Ceilan

Oui,
la limite pour a) est 1.

@Noemi

Ensuite pour b)
Je pense qu'il faut utiliser le th des gendarmes.

x^3 tend vers 0 . Donc on aurait la forme sin(x) / x ?

Je ne comprends pas comment utiliser le sin(2x) = 2sin(x) cos(x)

@Ceilan

$sin(2x)−2sinxx3=2sin(x)cos(x)−2sinxx3=2sin(x)[cos(x)−1]x×x2\dfrac{sin(2x)-2sinx}{x^3}=\dfrac{2sin(x)cos(x)-2sinx}{x^3}=\dfrac{2sin(x)[cos(x)-1]}{x\times x^2}$

Bonjour,

... et en poursuivant avec (cos(x) - 1) = -2.sin²(x/2), il vient :

$sin(2x)−2sin(x)x2=−sin(x)x∗sin(x2)x2∗sin(x2)x2\frac{sin(2x)-2sin(x)}{x^2} = - \frac{sin(x)}{x} * \frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} * \frac{sin(\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}}$

Dont la limite pour x $→\to$ 0 est immédiate.

@Black-Jack Bonjour

De ce fait la limite serait 0 ?

@Ceilan

Non
Quelle est la limite en 0 de $sin(x)x\dfrac{sin(x)}{x}$ ?

@Noemi
Ahh elle tend vers 1

Merci à tous pour votre aide je vais rédiger tout cela

@Ceilan

Tu as oublié le signe moins.