Première spé maths : les suites

[Thomas589]

Bonjour j’aurai besoin d’aide pour un exercice sur les suites :

On admet que pour tout nombre entier naturel n et non nul, $1+2+\dots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$

Prouver que : $C_n=2n^2-2n+1$

Merci d’avance pour votre aide.

Relations corrigées et mises en forme par la modération.

[Wilmat]

Bonjour,

qui est Cn?

[Thomas589]

@Wilmat Bonjour merci de m’avoir répondu, les seules autres données que j’ai c’est Cn+1=Cn+4n et C1=1.

[Noemi]

@Thomas589 Bonjour,

Utilise la relation de $C_n$
$C_2=C_1+4\times 1$
$C_3=C_2+4\times 2$
.....
$C_n=C_{n-1}+4\times (n-1)$

Puis tu fais la somme des termes et tu simplifies.

Vérifie l'énoncé pour l'expression de $C_n$.

[Thomas589]

@Noemi Bonjour merci beaucoup pour votre réponse mais je n’ai pas encore appris à calculer la somme des termes donc je pense qu’il à faut que je trouve un autre moyen de répondre à cette question. Mais merci quand même.

[Noemi]

@Thomas589

Bizarre, tu ne sais pas écrire :
$C_2+C_3+....+C_n=C_1+4\times 1+C_2+4\times 2+....+C_{n+1}+4\times (n-1)$
puis simplifier cette expression et utiliser la relation indiquée.
Je détaille
$C_2+C_3+....+C_n=C_1+C_2+....+C_{n+1}+4\times 1+4\times 2+...4\times (n-1)$
On simplifie en on met 4 en facteur.
$C_n=C_1+4(1+2+...+(n-1))$
En utilisant la relation donnée dans l'énoncé et en utilisant $C_1=1$
$C_n=1+4\times \frac{n(n-1)}{2}$
qui donne bien :
$C_n=2n^2-2n+1$

[Thomas589]

@Noemi Non je ne sais pas comment faire ça mais merci quand même je ne veux pas vous déranger plus longtemps.

[mtschoon]

Bonjour,

Je reste perplexe sur ton énoncé...

Si je lis, je crois comprendre que $(C_n)$ est une suite définie par $C_1=1$ et $C_{n+1}=C_n+4n$

Tu veux démontrer que $C_n=2n^2+2n+1$

Le raisonnement par récurrence devrait permettre de faire la démonstration, mais faudrait-il que la formule à démontrer soit exacte.

C'est faux !
Contente toi de vérifier pour n=1 :
$C_1=1$ par hypothèse.
La formule à démontrer devrait donc donner aussi 1 , alors qu' elle donne 5 car
$C_1=2(1{)}^2+2(1)+1=2+2+1=5$

[Black-Jack]

Bonjour,

L'énoncé est faux.

Cn = 2n^2 + 2n + 1
donnerait avec n = 1 : C1 = 2 * 1² + 2*1 + 1 = 5

alors que l'énoncé donne C1 = 1

Il FAUT donc commencer par corriger l'énoncé.

---

[mtschoon]

@Thomas589 ,

Je te propose une modification.

$C_1=1$ et $C_{n+1}=C_n+4n$

Démontrer que $\boxed{C_n=2n^2-2n+1}$

Raisonnement par récurrence ( j'espère que tu connais...)

a) Initialisation pour n=1
Par hypothèse : $C_1=1$
Avec la formule : $C_1=2(1{)}^2-2(1)+1=2-2+1=1$ OK

b) Transmission.

Hypothèse à un ordre n : $C_n=2n^2-2n+1$

Conclusion à démontrer à l'ordre (n+1) : $C_{n+1}=2(n+1{)}^2-2(n+1)n+1$
en développpant et simplifiant, cela devient à démontrer que $C_{n+1}=2n^2+2n+1$

DEMONSTRATION
$C_{n+1}=C_n+4n$
Avec l'hypothèse de la récurrence :
$C_{n+1}=(2n^2-2n+1)+4n$
$C_{n+1}=2n^2-2n+1+4n$
$C_{n+1}=2n^2+2n+1$

CQFD

[mtschoon]

Merci à la modération d'avoir rectifié l'énoncé ( mais j'avais proposé la modification à @Thomas589 , avant...)

[Noemi]

@mtschoon Bonsoir,

Je ne comprends pas l'utilité de cette remarque.
Pour information :
J'ai indiqué vers 16 h à Thomas589, une piste de de résolution et de vérifier son énoncé.
Voyant les messages suivants le mien indiquant que l'énoncé était faux, j'ai pris la décision de modifier l'énoncé.

[mtschoon]

Bonsoir @Noemi ,

Merci pour tes efforts.

Je trouve que d'avoir modifié l'énoncé de @Thomas589 au début du topic , après que ma proposition de modification soit donnée (en fin de topic), a tendance à géner ce qui a été dit avant cette proposition de modification.
Mais cela est un détail !
Tu as fait ce que tu as pensé être le mieux pour ce topic.

L'essentiel est que @Thomas589 ait compris la démonstration par récurrence (si c'est le cas ...?)