COMBINATOIRE (exercices de permutation et d'arrangement + limites)

Bonjour, Pouvez -vous m'aider me corriger ces exercices svp (je les envoyés par photo car je ne sais pas comment écrire les symboles mathématiques sur ce forum)
MicrosoftTeams-image (118).png

@JOYCA-3-0 Et voici mon raisonnement !

Merci infiniment pour votre correction !

Bonjour,

Pour le 1, j'aurais fait ceci :

(3x² - 2/x³)^9

= [(3x^5 - 2)/x³]^9

= (3x^5 - 2)^9 / x^27

Pour que (3x^5 - 2)^9 / x^27 ait un terme en x^4, il faudrait que la puissance 4+27 = 31 apparaisse dans le développement de (3x^5 - 2)^9 (1)

Or, les puissances de x qui apparaissent dans (3x^5 - 2)^9 sont toutes multiples de 5 ... et donc pas de puissance 31

Le développement de (3x² - 2/x³)^9 n'a pas de terme en x^4

Pour le 2

Il fait probablement se méfier du "e" et du "é" en majuscules du mot mathématiques (en majuscule)

Si je me fie à ton énoncé, le "é" en majuscule est bien distingué du E et donc, doivent être considérés comme 2 lettres différentes.

1°) 5 lettres différentes.

Le mot longitude possède 9 lettres toutes différentes.

1ere lettre : 9 choix possibles
2eme lettre : 8 choix possibles (toutes les lettres de longitude sauf celle utilisée en 1ère lettre)
3eme lettre : 7 choix possibles (toutes les lettres de longitude sauf celles utilisées en 1ère et 2ème lettres)
4ème lettre : 6 choix possibles (toutes les lettres de longitude sauf celles utilisées en 1ère et 2ème et 3ème lettres)
5ème lettre : 5 choix possibles (toutes les lettres de longitude sauf celles utilisées en 1ère et 2ème et 3ème et 4éme lettres)

--> nombre de possibilités = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 15120

2°)
5 lettres différentes mais contenant O et D

Avec des X pour les lettres différentes (et sans O et D, on peut avoir) :

ODXXX
DOXXX
OXDXX
DXOXX
OXXDX
DXXOX
OXXXD
DXXXO
XODXX
XDOXX
XDXOX
XOXDX
XDXXO
XOXXD
XXODX
XXDOX
XXOXD
XXDXO
XXXDO
XXXOD

Soit donc 20 possibilités de placer les lettre O et D (c'est un Arrangement de 2 lettres parmi 5)

Et pour chacune de ces 20 possibilités, il reste 3 lettres différentes parmi 7 à placer.
Soit donc 7 * 6 * 5 = 210 possibilités de placer ces 3 lettres pour chacun des 20 cas possibles de placement de O et D (c'est un Arrangement de 3 lettres parmi 7)

--> nombre de possibilités : 20 * 210 = 4200

Je n'ai pas lu la suite.

Je n'aime pas beaucoup ces problèmes de numération ... et je ne pratique quasi jamais comme c'est enseigné (cela ne veut pas dire qu'il faut faire comme moi)

Donc, même si mes méthodes ne sont pas celles qui te sont enseignées ... il faut trouver les bonnes réponses, à toi de voir qui de toi ou moi s'est planté.

@JOYCA-3-0 Bonjour,

Tout d'abord, il serait bien de respecter les consignes du forum.
Un seul exercice par post et l'énoncé doit être écrit.
Seuls les scans de figures, schémas ou graphiques sont autorisés.

Vu qu'une réponse a été apportée, j'indique quelques remarques :
Pour le premier exercice, la démarque est correcte mais manque de rigueur
Exemples : $a$ et $b$ se transforme en $A$ et $B$ ,
le $x^2$ se transforme en 3 et l'exposant final $18 - 3 p$ est faux.

Pour le dernier exercice : Des simplifications sont à revoir
Par exemple :
$(2n)!(2n−2)!×2!=2n(2n−1)2=...\dfrac{(2n)!}{(2n-2)!\times 2!}=\dfrac{2n(2n-1)}{2}=...$

Je n'ai rien relu de mes réponses ... et donc erreur(s) possible(s)

Il n'empêche qu'aucune de tes réponses ne me semblent correctes.

5 lettres différentes commençant par une voyelle
n = 4 * 8 * 7 * 6 * 5 = 6720

5 lettres différentes commençant par E
n = 1 * 8 * 7 * 6 * 5 = 1680

5 lettres différentes comprenant groupement ONE
n = 3 * 6 * 5 = 90

5 lettres différentes commençant par 3 voyelles
n = 24 * 6 * 5 = 720

C(1,n) = n!/(1! * (n-1)!) = n
C(2,2n) =(2n)!/(2! * (2n-2)!) = 2n(2n-1)/2 = n(2n-1)
C(3,3n) =(3n)!/(3! * (3n-3)!)= 3n(3n-1)(3n-2)/6 = n(3n-1)(3n-2)/2

C(1,n) - C(2,2n) = n - n(2n-1) = -2n² + 2n = 2n(1-n)

(C(1,n) - C(2,2n))/C(3,3n) = 2n(1 - n)/[n(3n-1)(3n-2)/2]
(C(1,n) - C(2,2n))/C(3,3n) = -4(n-1)/[(3n-1)(3n-2)]

lim(n-->+oo) [(C(1,n) - C(2,2n))/C(3,3n)] = 0

Bonjour,
@JOYCA-3-0 , je n'ai pas consulté/particité à ce topic vu qu'il ne respecte pas les règles du forum.
Peut-être que tu n'as pas vu les consignes avant de poster.
Je te les joins :
https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

Bonne lecture de ces consignes.