Relation de récurrence suite, limite

Bonjour je trouve quelque difficulté dans un exercice
2-a)
On considère la suite (Un) définie pour tout entier n >= par : Un= n/n+1
Calculer U1 et définir une relation de récurrence entre Un et Un-1 .

b) Vérifier que pour tout n >=1 : Sn= 1/1+1/n
En déduire la limite de la Suite (Sn) Lorsque n tend vers + infini

De mon côté j'ai calculer Un-Un-1
j'ai trouver 1/(n+1)(n+2)
Mais je ne sais pas comment je peux trouver une relation de récurrence avec ce résultat

Et pour l'autre exercice
Grace à la calculatrice en tapant le calcule Sn j'ai vu que au bout de l'infini le résultat ce rapprocher de 0 Donc j'ai conclu que la limite de Sn est - infini

@Rick-Nozi Bonjour,

Vérifie tes calculs :
a) $Un−Un−1=nn+1−n−1n=....U_n-U_{n-1}= \dfrac{n}{n+1}-\dfrac{n-1}{n}= ....$

b) Comment est défini $S_n$ ?

Pour la
a ) on refaisant je trouver -n-1/n(n+1)

b) Pour b je n'ai pas compris ce que vous voulez dire
je pense qu'elle est défini entre [0 - infini]

La formule de Un - Un-1 est différente par rapport avec Un -Un+1

Le numérateur est n(n+1) mais pour le numérateur j'héssite et je ne suis pas sûr j'ai trouver -n-1

@Rick-Nozi

a) $Un−Un−1=nn+1−n−1n=n2−(n2−1)n(n+1)=1n(n+1)U_n-U_{n-1}= \dfrac{n}{n+1}-\dfrac{n-1}{n}= \dfrac{n^2-(n^2-1)}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n(n+1)}$

b) $S_n$ correspond à la somme des termes ?

Je dois applique la Formule n(n+1)/2

@Rick-Nozi

Vérifie l'énoncé.
$Sn=11+1nS_n=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}$ ?

Vrai mais moi j'ai utilisé la calculatrice et j'ai tapé la suite et j'ai vu que la suite semble décroissante

@Rick-Nozi

La suite $U_n)$ est croissante car $1n(n+1)>0\dfrac{1}{n(n+1)}\gt0$

je l'ai surement mal tapé a la calculette car je voyais qu'elle se rapprochait de 0

Mais du coup je peux simplement dire que la limite de la suite tend vers l'infini

@Rick-Nozi

Non

D'abord vérifie, tu écris au début $U_n$ puis $S_n$
Est-ce la même suite ?
Si $n$ tend vers $+∞+\infty$ , $1n\dfrac{1}{n}$ tend vers $0^+$ .

Non ce n'est effectivement pas la même suite
Et je remarque que n tend vers 0

@Rick-Nozi

Comment vérifier l'écriture de $S_n$ si tu n'as pas d'autre écriture ?
Dans l'énoncé, tu as écrit que $n$ tend vers $+∞+\infty$ .

En le tapant a la calculette le résultat se rapproche de plus en plus 0

Dans l'énoncé on dit En déduire la limite de la suite S(n) lorque n tend vers + infini

@Rick-Nozi

Dans l'énoncé, tu as écrit : Vérifier que $S_n$ = ....
De plus l'énoncé commence à 2 a)
A quoi correspond la question 1 ?

Il n'y pas de Question 1

Mais je pense m'être trompé et la 2-a et la 2-b sont 2 exercices différent

@Rick-Nozi

La limite de $S_n$ est 1.

Mais pourquoi pas 0

et pourquoi 1

@Rick-Nozi
La limite de $1n\dfrac{1}{n}$ quand $n$ tend vers $+∞+\infty$ est $0 +$
donc la limite de $11+1n\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}$ est égale à $11=1\dfrac{1}{1}=1$

D'accord je vois
Merci de m'avoir aidé
Bonne Soirée