démontrer les limites d'une fonction

Bonjour,

Je reprends des études après 15 ans et les mathématique ne sont plus qu'un vague souvenir.

J'ai un devoir qui dit que j'ai une équation $aln(Rx)+b=x^-1$

Les trois nombres $a$ , $b$ et $R$ sont strictement positifs dans l'application qui nous intéresse.
La fonction est défini donc par $f(x)=aln(rx)+b-x^-1$

Le domaine de définition est donc de x>0 et sa dérivée est $f′(x)=1x2+axf'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{a}{x}$
J'en déduis que la dérivée est positive dans le domaine de définition de $f$ et que $f$ est strictement croissante.

Et là je ne comprend pas trop comment faire pour

Montrer que $lim⁡x→0F(x)=−∞\lim_{x\rightarrow 0}F\left(x\right)=-\infty$ et que $lim⁡x→+∞F(x)=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty}F\left(x\right)=+\infty$ à partir des limites usuelles des fonctions $ln⁡\ln$ et $x↦x−1x\mapsto x^{-1}$ (hyperbole)

Et ensuite En déduire que l'équation a une unique solution.

je connais les limites de $l n$ et $x^-1$ grâce au formulaire mais c'est comment les démontrer et la déduction du résultat qui me pose problème

Si je pourrais avoir un petit coup de pouce avec des explications ça serai cool.

Merci

Marc

@marclg Bonjour,

Tu utilises les limites usuelles
$lim⁡x→0ln(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to0} ln(x)=-\infty$ donc
$lim⁡x→0aln(rx)=−∞\displaystyle \lim_{x\to0} aln(rx)=-\infty$
et
$lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle \lim_{x\to0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
$lim⁡x→0+−1x=−∞\displaystyle \lim_{x\to0^+} -\dfrac{1}{x}=-\infty$

puis tu conclus

Bonjour,

@marclg , lorsque x tend vers + $∞\infty$ , ce n'est pas plus compliqué.

Si j'ai bien lu (?) :
$f(x)=aln(Rx)+b-x^{-1}$ c'est à dire
$f(x)=aln(Rx)+b−1xf(x)=aln(Rx)+b-\dfrac{1}{x}$ avec $a, b, R$ étant strictement positifs.

Losque x tend vers $+∞+\infty$ , $R x$ tend vesr $+∞+\infty$ ( vu que $R>0)R\gt 0)$
Donc $l n (R x)$ tend vers $+∞+\infty$
Vu que $a>0a\gt 0$ , $a l n (R x)$ tend vers $+∞+\infty$
Losque x tend vers $+∞+\infty$ , $1x\dfrac{1}{x}$ tend vers 0
$b$ est une constante, donc conserve la valeur $b$

Donc, en ajouant/retranchant ces limites, on obtient
$lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

Tu pourras en déduire que f est une bijection de $]0+∞[]0+\infty[$ vers $]−∞,+∞∣]-\infty,+\infty|$
Le théorème des valeurs intermédiaires te permettra de déduire que l'équation $f (x) = 0$ a une solution unique dans $]0,+∞[]0,+\infty[$ d'où la conlusion relative à ta question.

@mtschoon Merci beaucoup je commence à y voir plus claire.

Du coup pour la suite on me dit que a=2.46, b=0.29 et R=100.
Après une représentation graphique il demande une approche par dichotomie et j'ai trouver pour $x 1 = 0.14478125$ et donc $F (x 1) = 0.022$ .
Et une approche de la méthode newton avec l'approx $x 1$ et je trouve $x 2 = 0.14435$ et donc $f (x 2) = - 0.07$ .
Ces 2 résultats sont-ils logique?

Et la dernière question est de résoudre l'équation 2: $1f/2=aln⁡(Rf/2)+b\frac{1}{\sqrt{f/2}}=a\ln\left(R\sqrt{f/2}\right)+b$
en exprimant f en fonction de la solution x de l'équation 1.
(pour rappel de l'équation 1: $aln(Rx)+b=1xaln(Rx)+b=\frac{1}{x}$ )

Je pense donc que $x=f/2x=\sqrt{f/2}$ alors $f=2*x^{2}$
Et pour la valeur numérique je doit prendre quelle valeur de $x$ ?

Merci encore

@marclg , bonjour,

Je regarde tes réponses à tes deux dernières questions, mais je n'ai pas fait les calculs numériques.

Les valeurs de $x_1$ et $x_2$ me paraissent logiques.
Pour la valeur $x_2$ que tu donnes, ma calculette me donne bien $f(x2)≈−0.07f(x_2)\approx -0.07$
Pour la valeur $x_1$ que tu donnes, ma calculette me donne $f(x1)≈−0.04f(x_1)\approx -0.04$

J'ignore la formulation exacte de la dernière question, mais d'après ce que tu indiques, l'équation 2 est une équation d'inconnue $f$ .
Donc c'est l'expression de f(x) que tu dois donner (et c'est ce que tu as fait).

Bon travail.

Bonjour,

Voici comment sont formulé les dernières questions:

On cherche à résoudre l'équation (2) en la variable 𝑓 donnée par:

$1f/2=aln⁡(Rf/2)+b\frac{1}{\sqrt{f/2}}=a\ln\left(R\sqrt{f/2}\right)+b$

Question 17: Exprimer mathématiquement 𝑓 en fonction de la solution 𝑥 de l'équation (1).

Question 18: Quelle est la valeur numérique de 𝑓 calculée avec Python ?

Et c'est surtout avec quelle valeur de x je trouve la solution numérique...
Je pense que je dois prendre le x où la F(x) est le plus proche de zéro?

Merci