Propriété fonction intégrale limite
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Eemilie38 dernière édition par
Bonjour,
Je bloque sur une question de mon dm de maths qui m’empêche d’avancer, j’aurais besoin d’une piste pour m’aider à trouver la réponse. Soit G(x) = intégrale entre 0 et x de 1/(2 + sin(t))dtJ’ai démontré dans un premier temps que sin t = 2tan(t/2)/(1 + tan^2(t/2))
On me demande par la suite quelle propriété particulière a la fonction G puis en déduire que lim lorsque x tends vers pi- = G(pi). Mais pour l’instant, impossible de trouver la propriété, chose qui a l’air simple mais m’empêche d’avancer.Merci d’avance pour votre attention.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
sin(t) = 2tan(t/2)/(1+tan²(t/2))
1/(2+sin(t)) = 1/2 * (1 + tan²(t/2))/(1 + tan(t/2) + tan²(t/2))
Poser tan(t/2) = u
1/(2.cos²(t/2))dt = du
avec 1+tan²(t/2) = 1/cos²(t/2) -->
(1+tan²(t/2))/2 dt = du
(1+u²)/2 dt = du
dt = 2/(1+u²) du1/(2+sin(t)) dt = 1/2 * (1 + tan²(t/2))/(1 + tan(t/2) + tan²(t/2)) dt = (1+u²)/(1 + u + u²) * 2/(1+u²) du
1/(2+sin(t)) dt = du/(1 + u + u²)
S 1/(2+sin(t)) dt = S du/(1 + u + u²) (avec S pour le signe intégral)
S 1/(2+sin(t)) dt = (2/V3) * arctan((2u+1)/V3)
S 1/(2+sin(t)) dt = (2/V3) * arctan((2tan(t/2)+1)/V3)
S(de0àx) 1/(2+sin(t)) dt = (2/V3) * arctan((2tan(t/2)+1)/V3)
S(de0àx) 1/(2+sin(t)) dt = (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - arctan(1/V3)]
S(de0àx) 1/(2+sin(t)) dt = (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - Pi/6]
Il y a probablement plus direct.
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BBlack-Jack dernière édition par
Zut, j'ai utilisé un changement de variables ... qui, je pense a disparu des programmes de Terminale en France.
Si c'est le cas, il faudra un peu adapter ma réponse.
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Eemilie38 dernière édition par emilie38
@Black-Jack merci pour votre réponse, nous avons étudié les changements de variables néanmoins je ne vois toujours pas quelle propriété a la fonction G.
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@emilie38 Bonjour,
As-tu étudié la périodicité de la fonction ?
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Bonjour,
@emilie38 , j'essaie de comprendre ta question et je la trouve pas claire.
Peut-être faudra-t-il que tu donnes ton énoncé précis pour avoir une réponse précise à ta question.@emilie38 a dit dans Propriété fonction intégrale limite :
Bonjour,
Je bloque sur une question de mon dm de maths qui m’empêche d’avancer, j’aurais besoin d’une piste pour m’aider à trouver la réponse. Soit G(x) = intégrale entre 0 et x de 1/(2 + sin(t))dtOn me demande par la suite quelle propriété particulière a la fonction G puis en déduire que lim lorsque x tends vers pi- = G(pi).
Voilà ce que je comprends :
f(t)=12+sintf(t)=\dfrac{1}{2+sint}f(t)=2+sint1
Si ce n'est pas déjà fait, tu peux étudier les variations de cette fonction f , par exemple sur [−π,π[[-\pi,\pi[[−π,π[ (c'est à dire sur une période)
Tu trouveras que , sur [−π,π[[-\pi,\pi[[−π,π[, donc sur RRR, 13≤f(t)≤1\dfrac{1}{3} \le f(t)\le 131≤f(t)≤1G(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle G(x)=\int_0^x f(t)dtG(x)=∫0xf(t)dt
Tu peux justifier que G est continue sur RRR donc en particulier :
limx→π−G(x)=G(π)\displaystyle \lim_{x\to \pi^-} G(x)=G(\pi)x→π−limG(x)=G(π) c'est à dire limx→π,x<πG(x)=G(π)\displaystyle \lim_{x\to \pi, x\lt \pi} G(x)=G(\pi)x→π,x<πlimG(x)=G(π)
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@emilie38
Est-ce ça la question ?Si tu souhaites justifier rigoureusement que G est continue (et non te contenter de le dire) , tu fais une démonstration :
Par exemple :
Tu sais que pour tout ttt de RRR , 13<f(t)≤1\dfrac{1}{3}\lt f(t)\le 131<f(t)≤1Soit x∈Rx\in Rx∈R
G(x+h)−G(x)=∫xx+hf(t)dt\displaystyle G(x+h)-G(x)=\int_x^{x+h}f(t)dtG(x+h)−G(x)=∫xx+hf(t)dt0≤∣G(x+h)−G(x)∣≤∣h∣×max(f(t))0\le |G(x+h)-G(x)|\le |h|\times max(f(t))0≤∣G(x+h)−G(x)∣≤∣h∣×max(f(t))
0≤∣G(x+h)−G(x)∣≤∣h∣×10\le |G(x+h)-G(x)|\le |h|\times 10≤∣G(x+h)−G(x)∣≤∣h∣×1
0≤∣G(x+h)−g(x)∣≤∣h∣0\le |G(x+h)-g(x)|\le |h|0≤∣G(x+h)−g(x)∣≤∣h∣
donc
limh→0∣G(x+h)−G(x)∣=0\displaystyle \lim_{h\to 0}|G(x+h)-G(x)|=0h→0lim∣G(x+h)−G(x)∣=0limh→0G(x+h)=G(x)\displaystyle \lim_{h\to 0}G(x+h)=G(x)h→0limG(x+h)=G(x)
G est continue sur RRR , en donc en particulier à gauche pour x=πx=\pix=π, d'où la réponse souhaitée.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Attention !!!
Il y a une difficulté supplémentaire.
Le fonction f(t) = 1/(2+sin(t)) est continue et donc l'intégrale de f depuis 0 jusque t = x n'a aucune raison de ne pas l'être.
Or comme la fonction tan() est discontinue, il qu'il y a une tan() qui intervient dans (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - Pi/6],
il y quelque chose de plus à faire.
Dit autrement, voici un graphe avec t (donc x) en abscisse et la réprésentation de h(x) = (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - Pi/6] ainsi que la représentation de la "vraie" intégrale.
Tant que x reste < Pi, les courbes sont identiques ... mais il y a un décalage de Pi+2/V3 au passage à x = Pi, décalage qui va subsister jusque t ou x = 3Pi où le décalage sera double jusque ...
En bleu : la "vraie" intégrale
en brun la fonction h(x) = (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - Pi/6]
Pour tirer des enseignements sur la "vraie" intégrale, on doit tenir compte de ce que je viens de dire.
La "vraie" intégrale, n'est pas périodique comme semblerait l'indiquer h(x) = (2/V3) * [arctan((2tan(x/2)+1)/V3) - Pi/6]
IL FAUT TENIR COMPTE DES DECALAGES MENTIONNES CI-DESSUS
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Re-bonjour,
@emilie38 devra préciser sa question (comme déja demandé)
Car si c'est bien la limite à gauche de G en π\piπ dont il s'agit, la transformation de sint et le calcul de l'intégrale ne sont pas nécessaires pour répondre à la question qui semble la bloquer...
@emilie38 a d'ailleurs indiqué dans Propriété fonction intégrale limite
@Black-Jack merci pour votre réponse, nous avons étudié les changements de variables néanmoins je ne vois toujours pas quelle propriété a la fonction G.
Il s'agit vraisemblablement de la continuité de la fonction G.