DM - Positions relatives de droites et de plans


  • suhn1

    Bonjour à tous, j'aurai besoin d'aide car je bute sur un DM de géométrie dans l'espace (je ne sais pas comment on fait pour faire le signe des vecteurs donc je vais dire "le vecteur") :

    ABCDEFGH est un cube. M, N, et P sont les points définis par le vecteur BM = 1/4 du vecteur BF ; le vecteur CN = 1/3 du vecteur CD ; le vecteur AP = 3/4 vecteur AE.

    1. Montrer que (DH) coupe (MNP) en un point I.

    2. On note k le nombre réel el que le vecteur DI =k*le vecteur DH. Conjecturer, puis déterminer, la valeur de k.

    Merci d'avance pour votre aide et bonnes fêtes (en retard) et bonne année (en avance) !


  • N
    Modérateurs

    @suhn1 Bonsoir,

    As-tu fait une figure ?

    La parallèle à la droite (MP)(MP)(MP) passant par NNN, coupe la droite (DH)(DH)(DH) en III.
    donc NI→=k′MP→\overrightarrow{NI}=k'\overrightarrow{MP}NI=kMP.


  • suhn1

    Bonsoir et merci,

    Oui j'ai construit le cube mais je ne sais pas vraiment avec quoi exactement montrer que (DH) et (MNP) se coupe (en I).


  • N
    Modérateurs

    @suhn1

    A quel plan appartient la droite (MP)(MP)(MP) ?, la droite (NI)(NI)(NI) ?


  • suhn1

    (MP) appartient à (BEF) mais en revanche je ne sais pas pour (NI)


  • N
    Modérateurs

    @suhn1

    La droite (NI)(NI)(NI) appartient au plan DCHDCHDCH.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @suhn1, si besoin, je te joins un schéma pour plus de clarté.

    cubeTer.jpg

    Avec un schéma à peu près correct, , tu ne dois pas avoir de difficulté pour le point I.

    Relis les pistes de Noemi et complète.

    Les faces (ABFE) et (DCGH) sont parallèles.
    La droite passant par N et parallèle à (MP) est dans la plan(DCGH), ainsi que la droite (DH).
    Ces droites n'étant pas parallèles , elle se coupent en un point I.


  • mtschoon

    @suhn1 , je regarde la question 2).

    Avec le schéma, tu peux conjecturer que DI→=13DH→\overrightarrow{DI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DH}DI=31DH
    Donc k=13\boxed{k=\dfrac{1}{3}}k=31

    Tu dois faire une démonstration pour le prouver.

    J'ignore ce qui est fait dans ton cours...
    A tout hasard, je te propose une démonstration analytique possible.
    Il y a peut-être plus court.

    Repère (A,AB→,AD→,AE→)(A, \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})(A,AB,AD,AE)

    Tu cherches kkk tel que DI→=kDH→\overrightarrow{DI}=k\overrightarrow{DH}DI=kDH
    donc I a pour coordonnées x=0,y=1,z=kx=0,y=1,z=k x=0,y=1,z=k

    Par lecture graphique ( en utilisant les égalités vectorielles de l'énoncé) tu peux obtenir les coordonnées de points.
    P(0,0,34)P(0,0,\dfrac{3}{4})P(0,0,43) , M(1,0,14)M(1,0,\dfrac{1}{4})M(1,0,41) et N(23,1,0)N(\dfrac{2}{3},1,0)N(32,1,0)

    Une équation cartésienne du plan (PMN) s'écrire
    ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
    Ce plan ne passe par par l'origine du repère donc d≠0d\ne 0d=0
    Tu peux choisir une valeur de ddd non nulle.
    Par exemple d=1d=1d=1
    En utilisant successivement les coordonnées de P, puis de M, puis de N, tu dois trouver, sauf erreur, :
    c=−43c=-\dfrac{4}{3}c=34, a=−23a=-\dfrac{2}{3}a=32 , b=−59b=-\dfrac{5}{9}b=95
    Equation :
    −23x−59y−43z+1=0-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{9}y-\dfrac{4}{3}z+1=032x95y34z+1=0

    En remplaçant x,y,zx,y,zx,y,z par les coordonnées de I, tu dois trouver k=13k=\dfrac{1}{3}k=31

    Bons calculs.


  • suhn1

    merci beaucoup pour tes éclaircissements @mtschoon , juste petite question pour savoir : quel logiciel as tu utilisé pour faire la figure géogébra?


  • mtschoon

    @suhn1 , de rien !

    Il s'agit du logiciel GEOGEBRA (que tu peux télécharger et qui est gratuit)


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