Numériques et démonstrations

Salut ! S’il vous plaît j’aimerai avoir votre aide sur cette question :
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, justifie que le nombre $l o g 2 (10)$ est un nombre irrationnel.

@Jbuilder Bonsoir,

Tu supposes que ce nombre est rationnel, et tu montres une impossibilité.

Bonjour,

@Jbuilder , je t'indique quelques pistes si besoin pour le raisonnement par l'absurde.

Je suppose que tu parles de $log_2(10)$ c'est à dire logarithme en base 2 de 10.

$x=log_2(10)$ <=> $2x=10\boxed{2^x=10}$

Si tu ne le sais pas directement, tu peux le prouver :
$x=ln(10)ln2x=\dfrac{ln(10)}{ln2}$ <=> $x l n 2 = l n (10)$ <=> $ln(2^x)=ln(10)$
et au final : $2^x=10$

Tu suppose $x$ rationnel, c'est à dire $x=pqx=\dfrac{p}{q}$ avec p entier et q entier non nul.

$2pq=102^{\dfrac{p}{q}}=10$ .
En élevant à la puissande $q$ on obtient : $2^p=10^q$ , c'est à dire :
$2p=(2×5)q2^p=(2\times 5)^q$ c'est à dire : $2p=2q×5q\boxed{2^p=2^q\times 5^q}$

Tu déduis la valeur qu'il faut donner à q, puis à p, et tu trouves une contradiction.

Reposte si tu n'y arrives pas.

@mtschoon
Oh vraiment j’avais commencé mais vue votre démarche je me rend compte que j’y arrive maintenant. Je vous remercie pour votre aide immense et bonne année à vous

De rien @Jbuilder ,
C'est parfait si tu maîtrises.
(J'espère que tu as trouvé $q = 0$ (puis $p = 0$ ) ce qui est en contradiction avec la condition $q≠0q\ne 0$ )

Bonne année à toi aussi !