Problèmes de numérique

Salut s’il vous plaît j’ai besoin d’aide pour cette question :
Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ , justifie que : $l n (a)$ + $l n (b) / 2$ < $l n a + b / 2$ .

@Jbuilder Bonsoir,

L'inéquation est difficile à comprendre :
est-ce , $ln(a)+ln(b)2<ln(a)+b2ln(a)+\dfrac{ln(b)}{2} \lt ln(a) +\dfrac{b}{2}$ ?

@Noemi
Salut Noemi
Non ce n’est pas cela. Mais je n’arrive pas à l’écrire correctement

@Jbuilder

Mets des parenthèses.
Est-ce :
$ln(a)+ln(b)2<ln(a+b)2ln(a)+\dfrac{ln(b)}{2} \lt ln\dfrac{(a+b)}{2}$ ?
ou
$ln(a)+ln(b2)<ln(a+b)2ln(a)+ln(\dfrac{b}{2}) \lt ln\dfrac{(a+b)}{2}$ ?

@Noemi
Oui je crois que c’est la deuxième expression expression merci

@Jbuilder a dit dans Problèmes de numérique :

@Noemi
Oui je crois que c’est la deuxième expression expression merci

Bonjour,

Il vaudrait mieux être sûr.

si c'est ln(a) + ln(b/2) < ln((a+b)/2)) ...

Essaie avec a = 3 et b = 2 par exemple ...

Bonjour,

C'est vrai que ces écritures sont très bizarres...

Par soucis de symétrie, a et b jouant le même rôle, j'opterais pour :
$lna+lnb2<ln(a+b2)\boxed{\dfrac{lna+lnb}{2}\lt ln(\dfrac{a+b}{2})}$ (formule (E))

Une autre remarque : il aurait fallu que l'énoncé précise que a et b sont distincts ( car si a=b on obtient une égalité, ou bien il aurait fallu que l'inégalité proposée soit au sens large ) .
@Jbuilder , tu devras regarder ton énoncé de près....

@Jbuilder , je te donne une piste possible en raisonnant par équivalence logique ( car je trouve cela plus simple)

(E) <=> $ln(ab)2<ln(a+b2)\dfrac{ln(ab)}{2}\lt ln(\dfrac{a+b}{2})$ <=> $\le 2ln(\dfrac{a+b}{2})$

donc : (E) <=> $\le ln\biggr(\dfrac{a+b}{2}\biggr)^2$ <=> $ab<(a+b2)2ab\lt \biggr(\dfrac{a+b}{2}\biggr)^2$

donc : (E) <=> $ab<(a+b)24ab\lt \dfrac{(a+b)^2}{4}$ <=> $4ab<(a+b)2\boxed{4ab\lt (a+b)^2}$

Tu termines en développant $a+b)^2$ en transposant puis en reconnaissant une identité remarquable.

Reposte si tu n'y arrives pas.