passage a la limite difficile

bonjours a tous !
dans cet exercice j'ai pu montrer que la suite est croissante en calculant $U_{n+1}-1$
parcontre lorsque je pose $l=1+1ll=1+\frac{1}{l}$ je bloque pour la determination de la limite. Voici dessous l'exercice en question.

Soit $U_n)$ la suite définie par $U_0 = 1$ et $Un+1=Un+1UnU_{n+1} = U_n + \frac{1}{U_n}$
. On admet que $U_n$ > 0 quelque soit $n$ . Montrer que $U_n)$ est croissante puis déterminer sa limite.

@loicstephan bonjour,

N'est ce pas de cette suite dont tu parles ?

https://forum.mathforu.com/topic/32504/exercice-sur-les-suites-récurrentes

Regarde si mes explications suffisent à ta question.

@loicstephan Bonjour,

Je suppose que c'est le même exercice que celui-ci : https://forum.mathforu.com/topic/32504/exercice-sur-les-suites-récurrentes/2

Vérifie et propose une question si tu as besoin d'un élément supplémentaire sur la réponse donnée.

@Noemi
merci bien tout a ete compris
puis que la resolution de l'equation est impossible la suite ne peut converger
donc elle est divergente et admet pour limite $+ o o$ car strictement croissante
cependant est ce que sur $] 0; + o o [$ le resonnement aurait ete different ? d'emblé je dirai non

@loicstephan ,

Le raisonnement convient aussi sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

Avec $Un>0U_n\gt 0$ , $1Un>0\dfrac{1}{U_n}\gt 0$ donc $Un+1−Un>0U_{n+1}-U_n\gt 0$ donc suite strictement croissante.

L'équation $x=x+1xx=x+\dfrac{1}{x}$ est est impossible pour $x>0x\gt 0$ dont pas de limite finie pour $U_n)$

@mtschoon

merci!!!!

De rien @loicstephan .
J'ai fait d'une pierre deux coups...

Les questions posées à Grégory étaient plus complètes car il fallait qu'il prouve en première question , par récurrence, que pour tout $n$ de $N$ , $Un≥1U_n\ge 1$ alors que ton énoncé admettait sans démonstration que $Un>0U_n\gt 0$

@mtschoon
la demonstration de la croissance de la suite implique deja cela selon moi ou alors?

@loicstephan ,

Non, la croissance de la suite ne suffit pas pour conclure que la suite tend vers $+∞+\infty$

Rappelle toi le théorème : toute suite croissante et majorée est convergente (vers une limite $l$ finie)

Je te donne un contre-exemple simple
Soit $U_n$ définie sur $N^*$ par $Un=1−1nU_n=1-\dfrac{1}{n}$

Cette suite est à termes positifs, elle est strictement croissante et elle converge vers $l = 1$

@mtschoon
merciiiii

@loicstephan , de rien !
Cette fois, je pense que tout est clair pour toi.