Trigonométrie (SPE Maths niveau première)

[mik16]

Bonjour, j’aurai besoin d’aide pour la question 3 de cet exercice.
Merci d’avance !

Scan supprimé par la modération.

[Black-Jack]

Bonjour,

Il me semble qu'on complique juste pour le plaisir.

Pi/2 est compris dans [0 ; Pi/2], il est donc dans le 1 er quadrant (où les cos et sin sont > 0)

cos(Pi/12) = alpha (alpha est donc compris dans [0 ; 1] )

sin²(Pi/12) + cos²(Pi/2) = 1
sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/2)
sin²(Pi/12) = 1 - alpha² (sin(Pi/12 étant > 0 --> )
sin(Pi/12) = V(1 - alpha²) [avec V pour racine carrée]

On sait (ou devrait savoir) que cos(Pi/6) = (V3)/2

avec cos(2x) = 2cos²(x) - 1
si x = Pi/12, alors : cos(Pi/6) = 2cos²(Pi/12) - 1
(V3)/2 = 2cos²(Pi/12) - 1
cos²(Pi/12) = [1 + (V3)/2]/2
alpha² = [1 + (V3)/2]/2
alpha² = (2 + V3)/4

1 - alpha² = (1 - (2 + V3)/4)
1 - alpha² = (4 - (2 + V3))/4
1 - alpha² = (2 - V3)/4
V(1 - alpha²) = (1/2).V(2 - V3)
alpha * V(1 - alpha²) = (1/2) * V(2 + V3) * (1/2).V(2 - V3) (car alpha > 0)
alpha * V(1 - alpha²) = (1/4) * V[(2 + V3)(2-V3)]
alpha * V(1 - alpha²) = (1/4) * V(4-3) = 1/4

alpha² = (2 + V3)/4 (avec alpha > 0)
alpha = (V(2+V3))/2

sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/12)
sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/12)
sin²(Pi/12) = 1 - alpha²
sin²(Pi/12) = (2 - V3)/4 et sin(alpha) > 0 -->
sin(Pi/12) = (V(2-V3))/2

---

C'était faire des détours pour le plaisir ???

En effet, on aurait pu faire :

Pi/2 est compris dans [0 ; Pi/2], il est donc dans le 1 er quadrant (où les cos et sin sont > 0)

cos(2x) = 2cos²(x) - 1
avec x = Pi/12 --> cos(Pi/6) = 2.cos²(Pi/12) - 1
(V3)/2 = 2.cos²(Pi/12) - 1
cos(Pi/12) = (V(2+V3))/2

et avec sin(2x) = 2.sin(x).cos(x)
avec x = Pi/12 --> sin(Pi/6) = 2.sin(x).cos(x)
1/2 = 2 * sin(Pi/12) * (V(2+V3))/2
sin(Pi/12) = 1/(2.V(2+V3))
sin(Pi/12) = (V(2-V3)/(2.V(2+V3).(2-V3))
sin(Pi/12) = (V(2-V3))/2

[Noemi]

@mik16 Bonjour,

Le scan de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum.
Seuls les scans de figures, schémas ou graphiques sont autorisés
Il faut écrire l'énoncé.

Le scan va être supprimé.

[mtschoon]

Bonjour,

@mik16 , consulte les consignes avant de poster

https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

et écris l'énoncé.

[mtschoon]

Bonjour,

Je vois que @mik16 n'a toujours pas écrit la question qui lui posait problème...
ou bien, il n'est pas repassé par le forum
ou bien il n' a pas souhaité l'écrire

J'indique un RESUME de cette question :

Pré-requis : formules de duplication.
Soit $\alpha =cos(\frac{\pi }{12})$

a) Exprimer $sin(\frac{\pi }{12})$ en fonctionde $\alpha$
b ) Prouver que :
${\alpha }^2=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$ et $\alpha \sqrt{1-{\alpha }^2}=\frac{1}{4}$

c) Déterminer $cos(\frac{\pi }{12})$ et $sin(\frac{\pi }{12})$.
Indication : développer $(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}{)}^2$

[mtschoon]

Une complément pour le c) :
Développer $(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}{)}^2$ était là pour indiquer la forme que devaient prendre les résultats (car il y différentes façons de les écrire).

J'explicite un peu cette forme.

Identité remarquable.
$(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{8+2\sqrt{1}2}{4}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$

Avec la première propriété du b)
$co{s}^2(\frac{\pi }{12})$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$=$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{16}$

$cos(\frac{\pi }{12})>0$ donc $cos(\frac{\pi }{12})$ peut s'écrire :
$\boxed{cos(\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

Avec la seconde propriété du b)
$cos(\frac{\pi }{12})\sqrt{1-co{s}^2(\frac{\pi }{12})}=\frac{1}{4}$
$cos(\frac{\pi }{12})\sqrt{si{n}^2(\frac{\pi }{12})}=\frac{1}{4}$
$sin(\frac{\pi }{12})>0$ donc
$cos(\frac{\pi }{12})sin(\frac{\pi }{12})=\frac{1}{4}$
En utilisant l'expression de $cos(\frac{\pi }{12})$ :
$sin(\frac{\pi }{12})=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$
$sin(\frac{\pi }{12})$ peut s'écrire :
$\boxed{sin(\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

Bonne lecture.
​

[mik16]

@mtschoon Merci beaucoup pour votre aide !
Désolé d’avoir mis le scan de l’énoncé, j’ignorais que l’on ne pouvait pas.
J’aurai besoin de quelques explications pour la question a)

[Noemi]

@mik16 Bonsoir,

Il serait bien que tu écrives l'énoncé au moins de la question qui te pose problème.

Regarde les réponses qui ont été données et indique ce que tu ne comprends pas.

[mik16]

@Noemi En fait, je ne comprends pas à quoi correspond la question a (qui était « Exprimer sin(π/12) en fonction de α) dans la réponse de @Black-Jack

[Noemi]

@mik16

Tu utilises la relation : $si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1$
$si{n}^2(\frac{\pi }{12})=1-co{s}^2(\frac{\pi }{12})$
....

[mtschoon]

Bonjour,

@mik16 , une autre fois écrit l'énoncé pour éviter toutes ces complications ! ...

Visiblement, tu as bien compris le c) que je t'ai indiqué. C'est bien.

Pour le a) , comme te l'a indiqué @Noemi , on part de la formule fondamentale de la trigonométrie

Si tu as besoin d'un cours, tu regardes le lien , et tu trouves la formule au III 1) propriétés immédiates : c'est la première écrite .
https://www.mathforu.com/premiere-s/trigonometrie-en-1ere-s/

Ainsi : $si{n}^2(\frac{\pi }{12})+co{s}^2(\frac{\pi }{12})=1$

C'est peut-être la notation qui te gène, si tu n'as pas l'habitude

Elle veut dire que : $(sin(\frac{\pi }{12}){)}^2+(cos(\frac{\pi }{12}){)}^2=1$

Comme cette dernière écriture est longue avec les parenthèses et les carrés, on a le droit d'utiliser l'écriture simplifiée $si{n}^2(\frac{\pi }{12})+co{s}^2(\frac{\pi }{12})=1$

C'est cette écriture que l'on utilise couramment.

La suite est à peu près évidente et je crois que je re-écris ce qui a été dit...

Tu transposes :
$(sin(\frac{\pi }{12}){)}^2=1-(cos(\frac{\pi }{12}){)}^2$

L'énoncé te dit que $cos(\frac{\pi }{12})$ doit se nommer $\alpha$, donc
$(sin(\frac{\pi }{12}){)}^2=1-{\alpha }^2$

Ensuite tu prends la racine carrée de chaque membre , ce qui donne :
$\boxed{sin(\frac{\pi }{12})=\sqrt{1-{\alpha }^2}}$

Evidemment, pour prendre ainsi la racine carrée de chaque membre, il faut donner des justifications.
Il faut justifier que $(1-{\alpha }^2)$ est positif , et que $sin(\frac{\pi }{12})$ est positif.

$\frac{\pi }{12}$ radians = 15 degrés.
Place cet angle sur le cercle trigonométrique et tu pourras faire les justifications.

Cette formule est utilisée pour prouver la seconde propriété du b)

Bonnes réflexions.

[mik16]

@mtschoon Merci beaucoup pour votre aide. J’ai du mal à comprendre la question b dans la réponse de @Black-Jack.
Rappel de la question 3:
On admet que sin(2x)=2sin(x)cos(x) et que cos(2x)=2cos^2(x)-1
On pose α = cos (π/12)
a)Exprimer sin (π/12) en fonction de α
b)Justifier que α vérifie : α^2= (2+racine de 3)4
α * racine de 1-α^2 = 1/4
c)Déterminer α et sin (π/12). Indication: Développer [(racine de 6 + racine de 2)/ 2]^2

[mtschoon]

@mik16 , merci pour le rappel,

Je tente de te détailler la b).

Pour trouver la première formule, tu pars de $cos(2x)=2co{s}^{2}x-1$ et tu prends $x=\frac{\pi }{12}$ c'est à dire $2x=\frac{\pi }{6}$
Tu obtiens ainsi : $cos(\frac{\pi }{6})=2co{s}^2(\frac{\pi }{12})-1$

$\frac{\pi }{6}$ est un angle remarquable. $cos(\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tu remplaces, ce qui te donne
$\frac{\sqrt{3}}{2}=2co{s}^2(\frac{\pi }{12})-1$
$\frac{\sqrt{3}}{2}+1=2co{s}^2(\frac{\pi }{12})$
$\frac{\sqrt{3}+2}{2}=2co{s}^2(\frac{\pi }{12})$

Tu divises par 2 et en utilisant la notation $\alpha$ tu dois trouver la première formule souhaitée

Pour trouver la seconde formule, tu pars de $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
et tu prends $x=\frac{\pi }{12}$ c'est à dire $2x=\frac{\pi }{6}$
Tu obtiens ainsi : $sin(\frac{\pi }{6})=2sin(\frac{\pi }{12})cos(\frac{\pi }{12})$
$\frac{\pi }{6}$ est un angle remarquable. $sin(\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$
Tu remplaces, ce qui te donne
$\frac{1}{2}=2sin(\frac{\pi }{12})cos(\frac{\pi }{12})$

Tu remplaces $sin(\frac{\pi }{12})$ par l'expression trouvée à la question a), et $cos(\frac{\pi }{12})$ par la notation $\alpha$, tu divises par 2 et tu dois trouver la seconde formule souhaitée.

Bons calculs.

[mik16]

@mtschoon Merci beaucoup pour votre aide. J’ai enfin compris !
Bonne journée

[mtschoon]

De rien @mik16 .
C'est parfait si tu as maintenant bien compris.
Bon dimanche à toi.