Trigonométrie (SPE Maths niveau première)


  • M

    Bonjour, j’aurai besoin d’aide pour la question 3 de cet exercice.
    Merci d’avance 🙏🏽!

    Scan supprimé par la modération.


  • B

    Bonjour,

    Il me semble qu'on complique juste pour le plaisir.

    Pi/2 est compris dans [0 ; Pi/2], il est donc dans le 1 er quadrant (où les cos et sin sont > 0)

    cos(Pi/12) = alpha (alpha est donc compris dans [0 ; 1] )

    sin²(Pi/12) + cos²(Pi/2) = 1
    sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/2)
    sin²(Pi/12) = 1 - alpha² (sin(Pi/12 étant > 0 --> )
    sin(Pi/12) = V(1 - alpha²) [avec V pour racine carrée]

    On sait (ou devrait savoir) que cos(Pi/6) = (V3)/2

    avec cos(2x) = 2cos²(x) - 1
    si x = Pi/12, alors : cos(Pi/6) = 2cos²(Pi/12) - 1
    (V3)/2 = 2cos²(Pi/12) - 1
    cos²(Pi/12) = [1 + (V3)/2]/2
    alpha² = [1 + (V3)/2]/2
    alpha² = (2 + V3)/4

    1 - alpha² = (1 - (2 + V3)/4)
    1 - alpha² = (4 - (2 + V3))/4
    1 - alpha² = (2 - V3)/4
    V(1 - alpha²) = (1/2).V(2 - V3)
    alpha * V(1 - alpha²) = (1/2) * V(2 + V3) * (1/2).V(2 - V3) (car alpha > 0)
    alpha * V(1 - alpha²) = (1/4) * V[(2 + V3)(2-V3)]
    alpha * V(1 - alpha²) = (1/4) * V(4-3) = 1/4

    alpha² = (2 + V3)/4 (avec alpha > 0)
    alpha = (V(2+V3))/2

    sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/12)
    sin²(Pi/12) = 1 - cos²(Pi/12)
    sin²(Pi/12) = 1 - alpha²
    sin²(Pi/12) = (2 - V3)/4 et sin(alpha) > 0 -->
    sin(Pi/12) = (V(2-V3))/2


    C'était faire des détours pour le plaisir ???

    En effet, on aurait pu faire :

    Pi/2 est compris dans [0 ; Pi/2], il est donc dans le 1 er quadrant (où les cos et sin sont > 0)

    cos(2x) = 2cos²(x) - 1
    avec x = Pi/12 --> cos(Pi/6) = 2.cos²(Pi/12) - 1
    (V3)/2 = 2.cos²(Pi/12) - 1
    cos(Pi/12) = (V(2+V3))/2

    et avec sin(2x) = 2.sin(x).cos(x)
    avec x = Pi/12 --> sin(Pi/6) = 2.sin(x).cos(x)
    1/2 = 2 * sin(Pi/12) * (V(2+V3))/2
    sin(Pi/12) = 1/(2.V(2+V3))
    sin(Pi/12) = (V(2-V3)/(2.V(2+V3).(2-V3))
    sin(Pi/12) = (V(2-V3))/2


  • N
    Modérateurs

    @mik16 Bonjour,

    Le scan de l'énoncé de l'exercice est interdit sur ce forum.
    Seuls les scans de figures, schémas ou graphiques sont autorisés
    Il faut écrire l'énoncé.

    Le scan va être supprimé.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @mik16 , consulte les consignes avant de poster

    https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

    et écris l'énoncé.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je vois que @mik16 n'a toujours pas écrit la question qui lui posait problème...
    ou bien, il n'est pas repassé par le forum
    ou bien il n' a pas souhaité l'écrire

    J'indique un RESUME de cette question :

    Pré-requis : formules de duplication.
    Soit α=cos(π12)\alpha=cos(\dfrac{\pi}{12})α=cos(12π)

    a) Exprimer sin(π12)sin(\dfrac{\pi}{12})sin(12π) en fonctionde α\alphaα
    b ) Prouver que :
    α2=2+34\alpha^2=\dfrac{2+\sqrt 3}{4}α2=42+3 et α1−α2=14\alpha\sqrt{1-\alpha^2}=\dfrac{1}{4}α1α2=41

    c) Déterminer cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π) et sin(π12)sin(\dfrac{\pi}{12})sin(12π).
    Indication : développer
    (6+22)2\biggr(\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}\biggr)^2(26+2)2


  • mtschoon

    Une complément pour le c) :
    Développer (6+22)2\biggr(\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}\biggr)^2(26+2)2 était là pour indiquer la forme que devaient prendre les résultats (car il y différentes façons de les écrire).

    J'explicite un peu cette forme.

    Identité remarquable.
    (6+22)2=8+2124=4+232=2+3\biggr(\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{2}\biggr)^2=\dfrac{8+2\sqrt 12}{4}=\dfrac{4+2\sqrt 3}{2}=2+\sqrt 3(26+2)2=48+212=24+23=2+3

    Avec la première propriété du b)
    cos2(π12)cos^2(\dfrac{\pi}{12})cos2(12π)=2+34\dfrac{2+\sqrt 3}{4}42+3=(6+2)216\dfrac{(\sqrt 6+\sqrt 2)^2}{16}16(6+2)2

    cos(π12)>0cos(\dfrac{\pi}{12})\gt 0cos(12π)>0 donc cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π) peut s'écrire :
    cos(π12)=6+24\boxed{cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}}cos(12π)=46+2

    Avec la seconde propriété du b)
    cos(π12)1−cos2(π12)=14cos(\dfrac{\pi}{12})\sqrt {1-cos^2(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{1}{4}cos(12π)1cos2(12π)=41
    cos(π12)sin2(π12)=14cos(\dfrac{\pi}{12})\sqrt {sin^2(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{1}{4}cos(12π)sin2(12π)=41
    sin(π12)>0sin(\dfrac{\pi}{12})\gt 0sin(12π)>0 donc
    cos(π12)sin(π12)=14cos(\dfrac{\pi}{12})sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{4}cos(12π)sin(12π)=41
    En utilisant l'expression de cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π) :
    sin(π12)=16+2=6−2(6+2)(6−2)sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{\sqrt 6+\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}{(\sqrt 6+\sqrt 2)(\sqrt 6-\sqrt 2)}sin(12π)=6+21=(6+2)(62)62
    sin(π12)sin(\dfrac{\pi}{12})sin(12π) peut s'écrire :
    sin(π12)=6−24\boxed{sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt 6-\sqrt 2}{4}}sin(12π)=462

    Bonne lecture.


  • M

    @mtschoon Merci beaucoup pour votre aide !
    Désolé d’avoir mis le scan de l’énoncé, j’ignorais que l’on ne pouvait pas.
    J’aurai besoin de quelques explications pour la question a)


  • N
    Modérateurs

    @mik16 Bonsoir,

    Il serait bien que tu écrives l'énoncé au moins de la question qui te pose problème.

    Regarde les réponses qui ont été données et indique ce que tu ne comprends pas.


  • M

    @Noemi En fait, je ne comprends pas à quoi correspond la question a (qui était « Exprimer sin(π/12) en fonction de α) dans la réponse de @Black-Jack


  • N
    Modérateurs

    @mik16

    Tu utilises la relation : sin2x+cos2x=1sin^2x+cos^2x=1sin2x+cos2x=1
    sin2(π12)=1−cos2(π12)sin^2(\dfrac{\pi}{12})=1-cos^2(\dfrac{\pi}{12})sin2(12π)=1cos2(12π)
    ....


  • mtschoon

    Bonjour,

    @mik16 , une autre fois écrit l'énoncé pour éviter toutes ces complications ! ...

    Visiblement, tu as bien compris le c) que je t'ai indiqué. C'est bien.

    Pour le a) , comme te l'a indiqué @Noemi , on part de la formule fondamentale de la trigonométrie

    Si tu as besoin d'un cours, tu regardes le lien , et tu trouves la formule au III 1) propriétés immédiates : c'est la première écrite .
    https://www.mathforu.com/premiere-s/trigonometrie-en-1ere-s/

    Ainsi : sin2(π12)+cos2(π12)=1sin^2(\dfrac{\pi}{12})+ cos^2(\dfrac{\pi}{12})=1sin2(12π)+cos2(12π)=1

    C'est peut-être la notation qui te gène, si tu n'as pas l'habitude

    Elle veut dire que : (sin(π12))2+(cos(π12))2=1\biggr(sin(\dfrac{\pi}{12})\biggr)^2+ \biggr(cos(\dfrac{\pi}{12})\biggr)^2=1(sin(12π))2+(cos(12π))2=1

    Comme cette dernière écriture est longue avec les parenthèses et les carrés, on a le droit d'utiliser l'écriture simplifiée sin2(π12)+cos2(π12)=1sin^2(\dfrac{\pi}{12})+ cos^2(\dfrac{\pi}{12})=1sin2(12π)+cos2(12π)=1

    C'est cette écriture que l'on utilise couramment.

    La suite est à peu près évidente et je crois que je re-écris ce qui a été dit...

    Tu transposes :
    (sin(π12))2=1−(cos(π12))2\biggr(sin(\dfrac{\pi}{12})\biggr)^2=1- \biggr(cos(\dfrac{\pi}{12})\biggr)^2(sin(12π))2=1(cos(12π))2

    L'énoncé te dit que cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π) doit se nommer α\alphaα, donc
    (sin(π12))2=1−α2\biggr(sin(\dfrac{\pi}{12})\biggr)^2=1- \alpha^2(sin(12π))2=1α2

    Ensuite tu prends la racine carrée de chaque membre , ce qui donne :
    sin(π12)=1−α2\boxed{sin(\dfrac{\pi}{12})=\sqrt{1- \alpha^2}}sin(12π)=1α2

    Evidemment, pour prendre ainsi la racine carrée de chaque membre, il faut donner des justifications.
    Il faut justifier que (1−α2)(1-\alpha^2)(1α2) est positif , et que sin(π12)sin(\dfrac{\pi}{12})sin(12π) est positif.

    π12\dfrac{\pi}{12}12π radians = 15 degrés.
    Place cet angle sur le cercle trigonométrique et tu pourras faire les justifications.

    Cette formule est utilisée pour prouver la seconde propriété du b)

    Bonnes réflexions.


  • M

    @mtschoon Merci beaucoup pour votre aide. J’ai du mal à comprendre la question b dans la réponse de @Black-Jack.
    Rappel de la question 3:
    On admet que sin(2x)=2sin(x)cos(x) et que cos(2x)=2cos^2(x)-1
    On pose α = cos (π/12)
    a)Exprimer sin (π/12) en fonction de α
    b)Justifier que α vérifie : α^2= (2+racine de 3)4
    α * racine de 1-α^2 = 1/4
    c)Déterminer α et sin (π/12). Indication: Développer [(racine de 6 + racine de 2)/ 2]^2


  • mtschoon

    @mik16 , merci pour le rappel,

    Je tente de te détailler la b).

    Pour trouver la première formule, tu pars de cos(2x)=2cos2x−1cos(2x)=2cos^2x-1cos(2x)=2cos2x1 et tu prends x=π12x=\dfrac{\pi}{12}x=12π c'est à dire 2x=π62x=\dfrac{\pi}{6}2x=6π
    Tu obtiens ainsi : cos(π6)=2cos2(π12)−1cos(\dfrac{\pi}{6})=2cos^2(\dfrac{\pi}{12})-1cos(6π)=2cos2(12π)1

    π6\dfrac{\pi}{6}6π est un angle remarquable. cos(π6)=32cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt {3}}{2}cos(6π)=23

    Tu remplaces, ce qui te donne
    32=2cos2(π12)−1\dfrac{\sqrt {3}}{2}=2cos^2(\dfrac{\pi}{12})-123=2cos2(12π)1
    32+1=2cos2(π12)\dfrac{\sqrt {3}}{2}+1=2cos^2(\dfrac{\pi}{12})23+1=2cos2(12π)
    3+22=2cos2(π12)\dfrac{\sqrt {3}+2}{2}=2cos^2(\dfrac{\pi}{12})23+2=2cos2(12π)

    Tu divises par 2 et en utilisant la notation α\alphaα tu dois trouver la première formule souhaitée

    Pour trouver la seconde formule, tu pars de sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
    et tu prends x=π12x=\dfrac{\pi}{12}x=12π c'est à dire 2x=π62x=\dfrac{\pi}{6}2x=6π
    Tu obtiens ainsi : sin(π6)=2sin(π12)cos(π12)sin(\dfrac{\pi}{6})=2sin(\dfrac{\pi}{12})cos(\dfrac{\pi}{12})sin(6π)=2sin(12π)cos(12π)
    π6\dfrac{\pi}{6}6π est un angle remarquable. sin(π6)=12sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{2}sin(6π)=21
    Tu remplaces, ce qui te donne
    12=2sin(π12)cos(π12)\dfrac{1}{2}=2sin(\dfrac{\pi}{12})cos(\dfrac{\pi}{12})21=2sin(12π)cos(12π)

    Tu remplaces sin(π12)sin(\dfrac{\pi}{12})sin(12π) par l'expression trouvée à la question a), et cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π) par la notation α\alphaα, tu divises par 2 et tu dois trouver la seconde formule souhaitée.

    Bons calculs.


  • M

    @mtschoon Merci beaucoup pour votre aide. J’ai enfin compris !
    Bonne journée


  • mtschoon

    De rien @mik16 .
    C'est parfait si tu as maintenant bien compris.
    Bon dimanche à toi.


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