Exercice sur les suites

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice :
Dans son jardin, une personne installe un bassin qui peut contenir 2500 litres.
On note $V_n$ le volume d’eau contenu dans le bassin au soir du nième jour
Au départ, ce bassin est vide, donc $V_0$ = 0.
Tous les jours, 10% de l’eau présente le matin dans le bassin, s’évapore et la personne rajoute en fin de journée 200 litres.

Etude de la suite ( $V_n$ )
a. Calculer $V_1$ , $V_2$ , $V_3$
b. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ .
c. La suite ( $V_n$ ) est-elle arithmétique ? géométrique ?
Etude d’une suite auxiliaire
On définit la suite ( $A_n$ ) par $A_n$ = $V_n$ − $V_{n-1}$
a. Calculer les 3 premiers termes de la suite ( $A_n$ ).
b. Emettre une conjecture concernant la nature de la suite ( $A_n$ ).
c. Prouver cette conjecture.
d. Exprimer $A_n$ en fonction de 𝑛.
Retour à la suite ( $V_n$ )
a. Définir $A_n$ comme un accroissement de stock entre des jours à préciser.
b. Exprimer $V_n$ en fonction des termes de la suite ( $A_n$ ).
c. Exprimer $V_n$ en fonction de 𝑛.
d. Le bac finiras-t-il par être rempli. Justifier.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

Aide pour les points un peu plus difficiles ...

Il faut comprendre cette aide ... et pour les autres points, esssaie de répondre par toi-même.

1.b)

V(n+1) = 0,9.V(n) + 200

Essaie de comprendre pourquoi on a cette relation.

2c et 2d)

V(n+1) = 0,9.V(n) + 200
V(n) = 0,9.V(n-1) + 200

A(n) = V(n) - V(n-1) (Je n'aime pas celle approche car n = 0 ne convient pas ici, alors que n = 0 est OK dans le début de l'exercice)
A(n) = 0,9.V(n-1) + 200 - V(n-1)
A(n) = 200 - 0,1.V(n-1)

A(n+1) = 200 - 0,1.V(n)
A(n+1) = 200 - 0,1.(0,9.V(n-1) + 200)
A(n+1) = 180 - 0,09.V(n-1)
A(n+1) = (180/200) * (200 - 0,1.V(n-1))
A(n+1) = 0,9 * A(n)

Donc An est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme A1 = 200 (A0 n'existe pas)

A(n) = 200 * 0,9^(n-1)

Remarque en passant :

On peut répondre à la question finale directement sans passer par tout le chemin imposé, juste par un raisonnement élémentaire.
... Mais ce n'est pas demandé ainsi.

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide mais je ne comprends pas pourquoi on a 0.9 à la question 1b).
Merci d'avance.

@pik15 Bonsoir,

Tous les jours 10% de l'eau présente dans le bassin s'évapore, il en reste donc :
$1−10100=90100=0,91-\dfrac{10}{100}= \dfrac{90}{100}= 0,9$

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D'accord merci beaucoup.
J'ai trouvé $V_1$ =200, $V_2$ =380 et $V_3$ =542. Est-ce que cela est-il correct?

Je ne comprends pas comment prouver à la question 1c) que la suite est géométrique ou arithmétique.

@pik15

Les calculs sont justes.
Pour le type de suite, vérifie l'écriture de la relation avec celle d'une suite arithmétique et géométrique.

Comme $V_{n+1}$ = 0,9 $V_n$ +200, la suite est-elle arithmético-géométrique?

@pik15

Oui,
la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.

Pour la question 2a), j'ai trouvé : $A_1$ =200, $A_2$ =180, $A_3$ =162. C'est correct ?

Pourriez-vous m'aider pour la partie 3 svp?

@pik15 a dit dans Exercice sur les suites :

Pourriez-vous m'aider pour la partie 3 svp?

Il faut essayer par toi-même.

Grosse aide (mais si te ne la comprends pas, on aura tous perdu notre temps)

3 b et c)

A(n) = 200 - 0,1.V(n-1)
0,1.V(n-1) = 200 - A(n)
0,1.V(n) = 200 - A(n+1)
V(n) = 2000 - 10.A(n+1)

V(n) = 2000 - 10 * 200 * 0,9^n
V(n) = 2000(1 - 0,9^n)