Exercices sur les suites

[mik16]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice :
Une personne place 5000 € sur un compte rémunéré dans une banque le 1er janvier 2022.
Deux types de placements lui sont proposés :
-Le placement à intérêts simples qui rapporte chaque année en intérêts 5% de la somme
initialement placée sur le compte.
-Le placement à intérêts composés qui rapporte chaque année en intérêts 4% de la somme
placée au cours de l’année écoulée sur le compte.

1. Placement à intérêts simples
   On note $C_n$ la somme disponible sur le compte au 1er janvier de l’année 2022 + 𝑛.
   a) Calculer $C_0$, $C_1$, $C_2$.
   b) Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire les éléments caractéristiques de la suite ($C_n$).
   c) Exprimer $C_n$ en fonction de 𝑛.
   d) Combien y-aura-t-il sur le compte au 1er janvier 2030 ?
   e) En quelle année la somme disponible sur le compte aura-t-elle doublée ?
2. Placement à intérêts composés
   On note $K_n$ la somme disponible sur le compte au 1er janvier de l’année 2022 + 𝑛.
   a) Calculer $K_0$, $K_1$, $K_2$.
   b) Exprimer $K_{n+1}$ en fonction de $K_n$. En déduire les éléments caractéristiques de la suite ($K_n$).
   c) Exprimer $K_n$ en fonction de 𝑛.
   d) Combien y-aura-t-il sur le compte au 1er janvier 2030 ?
   e) En quelle année la somme disponible sur le compte aura-t-elle doublée ?
3. Comparaison des deux placements
   a) A l’aide de la calculatrice, dresser un tableau de valeurs permettant de comparer les suites ($C_n$) et ($K_n$).
   b) Selon la durée du placement envisagée, quel placement vaut-il mieux choisir ?

Merci d'avance.

[Noemi]

@mik16 Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

[mtschoon]

Bonjour,

@mik16 , je regarde ton énoncé :
@mik16 a dit dans Exercices sur les suites :

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice :
Une personne place 5000 € sur un compte rémunéré dans une banque le 1er janvier 2022.
Deux types de placements lui sont proposés :
-Le placement à intérêts simples qui rapporte chaque année en intérêts 5% de la somme
initialement placée sur le compte.
-Le placement à intérêts composés qui rapporte chaque année en intérêts 4% de la somme
placée au cours de l’année écoulée sur le compte.

1. Placement à intérêts simples
   On note $C_n$ la somme disponible sur le compte au 1er janvier de l’année 2022 + 𝑛.
   a) Calculer $C_0$, $C_1$, $C_2$.
   b) Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. En déduire les éléments caractéristiques de la suite ($C_n$).
   c) Exprimer $C_n$ en fonction de 𝑛.
   d) Combien y-aura-t-il sur le compte au 1er janvier 2030 ?
   e) En quelle année la somme disponible sur le compte aura-t-elle doublée ?
2. Placement à intérêts composés
   On note $K_n$ la somme disponible sur le compte au 1er janvier de l’année 2022 + 𝑛.
   a) Calculer $K_0$, $K_1$, $K_2$.
   b) Exprimer $K_{n+1}$ en fonction de $K_n$. En déduire les éléments caractéristiques de la suite ($K_n$).
   c) Exprimer $K_n$ en fonction de 𝑛.
   d) Combien y-aura-t-il sur le compte au 1er janvier 2030 ?
   e) En quelle année la somme disponible sur le compte aura-t-elle doublée ?
3. Comparaison des deux placements
   a) A l’aide de la calculatrice, dresser un tableau de valeurs permettant de comparer les suites ($C_n$) et ($K_n$).
   b) Selon la durée du placement envisagée, quel placement vaut-il mieux choisir ?

@mik16 , si tu as des difficultés pour comprendre interêt simple et interêt composé, consulte la vidéo ici :
Les deux cas sont prévus et tu as l'explication des deux formules utiles

https://www.youtube.com/watch?v=eMZjA_ihkaI

Lorsque tu auras compris, si tu as besoin, donne tes réponses trouvées pour vérification et aide.

[mik16]

Bonjour, j'ai trouvé :
1a) $C_0$=5000
$C_1$=5250
$C_3$=5500
b) $C_{n+1}$ = $C_n$ +250. La suite est donc arithmétique de raison 250.
c)$C_n$=$C_0$ + n *250
d)Comme $C_0$ correspond à l'argent sur le compte au 1er janvier 2022, $C_8$ correspond à l'argent disponible au 1er janvier 2030.
$C_8$ = $C_0$ + 8 * 250 = 7000€.
e)Le 1er janvier 2042, la somme aura doublée. (j'ai trouvé ce résultat en faisant un tableau de valeurs, je ne sais pas si c'est comme cela qu'il faut faire).

Est-ce correct?

[mik16]

2a) $K_0$=5 000
$K_1$=5 200
$K_2$= 5 408
b)$K_{n+1}$=$K_n$+0.04$K_n$

Et après je n'arrive pas à faire la question c.

[mtschoon]

@mik16 , je regarde la première partie.

c'est bon.

Pour le e), effectivement, vu que cela est possible, tu peux faire le calcul et tu trouveras $n=20$ d'où la date.

$C_n=2C_0$ <=> $C_0+n(250)=2C_0$ <=>$n(250)=C_0$

D'où $n=\frac{C_0}{250}$ Tu comptes.

[mtschoon]

@mik16 , je regarde la seconde partie.

OK pour ce que tu as fait.

Pour le b), mets $K_n$ en facteur :

$K_{n+1}=K_n(1+0.04)$

c'est à dire : $K_{n+1}=1.04K_n$

$(K_n)$ est donc la suite géométriquer de raison $q=1.04$ et de premier terme 5000.

Tu pousuis .

[mtschoon]

@mik16 , tu parles de la question c)

Tu appliques la propriété des suites géométriques :

$K_n=K_0\times q^n$

Tu remplaces $K_0$ et $q$ par leurs valeurs.

Reposte si besoin.

[mik16]

Merci. Par contre quand je veux calculer $K_8$ (question 2d), je trouve avec la calculatrice une valeur approchée car elle m'affiche 6842,845252. Est-ce normal ?

[mtschoon]

@mik16

Oui ta valeur approchée est normale

$K_8=5000(1.04{)}^8$

Ma calculette arrondie à $6842.85$

[mtschoon]

@mik16 ,

Pour le e) tu ne pourras pas terminer le calcul aussi simplement qu'avec l'interêt simple...

$K_n=2K_0$ t'amènera , après simplification, à $1.04^n=2$

Si tu connaissais les logarithmes, tu pourrais isoler $n$, mais c'est du programme de Terminale.

Alors, il faudra terminer à la calculette.

Sauf erreur, tu dois trouver $n=18$, et tu déduiras l'année.

Bon DM.