Petite question rapide sur le produit scalaire !

Bonjour,

est-ce que le produit scalaire AB . BC = BA . BC ?
surtout dans le cadre de cette exercice :
https://forum.mathforu.com/topic/31051/exercice-produit-scalaire/2

et aussi quelqu'un pourrait me dire pour nesquik a tord a la question 1a ?

@joukov Bonjour,

La relation utilisée par nesquik est :
$BA→.BC→=12(BA2+BC2−(BA→−BC→)2)\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}(BA^2+BC^2-(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2)$

Le dernier terme est une différence de vecteur pas de segment.
et $(BA→−BC→)=CA→(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{CA}$

La relation indiquée au début est fausse dans le cas général. Vérifie à partir d'une relation du produit scalaire.

Bonjour,

@joukov , quelques réflexions complémentaires,

$AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

En utilsant les propriétés de ton cours, tu obtiens :

$AB→.BC→=−BA→.BC→\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{-BA}.\overrightarrow{BC}}$

Si la démonstration de la formule utilisée par nesquik95 dans la question 1)a) te pose problème, je te détaille le calcul.

Tu sais que le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme.

Identité remarquable
$(BA→−BC→)2=BA2+BC2−2BA→.BC→(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2=BA^2+BC^2-2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

En transposant
$2BA→.BC→=BA2+BC2−(BA→−BC→)22\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA^2+BC^2-(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2$

Or, $BA→−BC→=BA→+CB→=CB→+BA→=CA→\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Donc, $(BA→−BC→)2=CA2(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2=CA^2$

Au final :
$2BA→.BC→=BA2+BC2−CA22\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA^2+BC^2-CA^2$

En divisant par 2 :
$BA→.BC→=12[BA2+BC2−CA2]\boxed{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}[BA^2+BC^2-CA^2]}$

La réponse à la question 1)a) de nesquik95 est exacte

@mtschoon a dit dans Petite question rapide sur le produit scalaire ! :

Bonjour,

@joukov , quelques réflexions complémentaires,

$AB→=−BA→\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

En utilsant les propriétés de ton cours, tu obtiens :

$AB→.BC→=−BA→.BC→\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{-BA}.\overrightarrow{BC}}$

Si la démonstration de la formule utilisée par nesquik95 dans la question 1)a) te pose problème, je te détaille le calcul.

Tu sais que le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme.

Identité remarquable
$(BA→−BC→)2=BA2+BC2−2BA→.BC→(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2=BA^2+BC^2-2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

En transposant
$2BA→.BC→=BA2+BC2−(BA→−BC→)22\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA^2+BC^2-(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2$

Or, $BA→−BC→=BA→+CB→=CB→+BA→=CA→\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

Donc, $(BA→−BC→)2=CA2(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2=CA^2$

Au final :
$2BA→.BC→=BA2+BC2−CA22\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA^2+BC^2-CA^2$

En divisant par 2 :
$BA→.BC→=12[BA2+BC2−CA2]\boxed{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}[BA^2+BC^2-CA^2]}$

La réponse à la question 1)a) de nesquik95 est exacte

Bonjour,
La réponse fausse de nesquik95
J'en suis qu'au 1) a) et j'ai fait ceci :
BA.BC = 1/2 [ BAcarré + BCcarré - (BA - BC)carré ]
= 1/2 (36 + 49 - 1)
= 1/2 * 84 = 42

Il a à mon avis : utilisé $BA→−BC→=6−7=−1\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=6-7=-1$

@Noemi , bonjour,

J'ai indiqué à @joukov que la formule utilisée par nesquik95 à la 1)a) était exacte et lui ai fait la démonstration.
Je parlais de la formule.

Je n'ai pas fait le calcul numérique (évident).

Si on le fait :

$BA→.BC→=12(62+72−22)=12(81)=40.5\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}(6^2+7^2-2^2)=\dfrac{1}{2}(81)=40.5$

C'est bien ce que tu as écrit vers la fin de l'exercice de nesquik95 . Noemi.

J'espère que c'est clair pour @joukov .