Probabilité conditionnelle
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Mi9damon dernière édition par Mi9damon
Bonjour tout le monde!
J'ai besoin d'une petite aide concernant un exercice de Probabilité conditionnelle, le voilà ;
On considère un individu qui se rend régulièrement au cinéma.
Soit A ; l'événement « l'individu se rend au cinéma le jour i » avec Pr(A1) = p1 donné. On suppose que si un jour cet individu se rend au cinéma, le jour suivant il a une probabilité de 1/8 de s'y rendre aussi. Si l' individu ne se rend pas au cinéma le jour i, il y a une probabilité de 3/8 qu 'il s'y rende le jour suivant.Questions:
- Exprimer Pr(An+1) en fonction de Pr(An).
- Quelle est la probabilité de l'événement « l'individu se rend au cinéma le jour i »?
Maintenant j'ai résolu la 1er question. J'ai trouvé que ;
Pr(An+1) = -(2/8)Pr(An) + (3/8)Je suis bloqué dans la 2e Question... J'ai une idée d'utiliser la formule de probabilité totale mais ça reste floue...
Si quelqu'un peut me donner des indications sur les éléments de réponse de la 2e question j'en serai reconnaissant. Merci en avance!
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@Mi9damon Bonjour,
Etudie la suite correspondant à la relation trouvée à la première question.
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Mi9damon dernière édition par Mi9damon
@Noemi Merci pour l'indication.
J'ai trouvé que la limite de P(An) en infini est égale à 3/10...
Comme résultat la probabilité de l'événement « l'individu se rend au cinéma le jour i » est égale à 3/10.
S'il y a une erreur alors je me suis trompé.
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Tu peux étudier la suite Vn=Pr(An)−0,3V_n=Pr(A_n)-0,3Vn=Pr(An)−0,3 et en déduire Pr(Ai)Pr(A_i)Pr(Ai) en fonction de p1p_1p1.
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Mi9damon dernière édition par Mi9damon
@Noemi
J'ai trouvé que la suite est géométrique de raison (-1/4)
Alors, Vn+1=−0,25VnV_{n+1} = -0,25 V_nVn+1=−0,25Vn
La forme générale de ce type de suites est :
Vn=qn−pVpV_n = q^{n-p}V_pVn=qn−pVp et pour p=1p = 1p=1 on a Vn=qn−1V1V_n = q^{n-1}V_1Vn=qn−1V1 avec q=−0,25q = -0,25q=−0,25 et V1=p1−0,3V_1 = p_1 - 0,3V1=p1−0,3
on sais que Vn=pn−0,3V_n = p_n - 0,3Vn=pn−0,3 donc ;
Vn=(−0,25)n−1V1=(−0,25)n−1(p1−0,3)=pn−0,3V_n = (-0,25)^{n-1}V_1 = (-0,25)^{n-1} (p_1 - 0,3) =p_n - 0,3Vn=(−0,25)n−1V1=(−0,25)n−1(p1−0,3)=pn−0,3par conséquent ;
pn=p1(−0,25)n−1−0,3[(−0,25)n−1−1]p_n = p_1 (-0,25)^{n-1} - 0,3 [(-0,25)^{n-1} - 1]pn=p1(−0,25)n−1−0,3[(−0,25)n−1−1]Donc ;
pi=p1(−0,25)i−1−0,3[(−0,25)i−1−1]p_i = p_1 (-0,25)^{i-1} - 0,3 [(-0,25)^{i-1} - 1]pi=p1(−0,25)i−1−0,3[(−0,25)i−1−1]Si je ne me suis pas trompé, je pense que la 2e question est résolue... Est-ce que c'est le cas?
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C'est correct.
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Mi9damon dernière édition par
@Noemi
Merci beaucoup pour tes instructions et pour votre patience aussi.
