DM maths suites+intégrales terminale

[tletron]

Bonjour, excusez moi de vous déranger,
j'ai un dm de maths a faire mais je ne comprends pas grand chose (car il est pour un niveau un peu élevé).
Voici l'énoncé
Pour n dans N, on note un le réel $$1 − 1/2 + 1/3 − · · · + (−1)^n/n+1 . On a ainsi défini une suite (un)n∈N.

1. Ecrire les cinq premières valeurs de cette suite, présentées dans un tableau.
   Tout d'abord, pouvez-vous me confirmer si on a bien la suite (un) suivante:
   un=u0 q^n
   1*((-1)^n/n+1)
   soit au numérateur: (-1)^n
   au denominateur: n+1
   Je trouve: u0=1
   u1=-1/é
   u2=1/3
   u3=-1/4
   u4=1/5

2. Montrer que:
   ∀n ∈ N, ∀x ∈ R, (1/1+x) - ((-x)^n+1 / 1+x) = 1-x+x^2-x^3+...+(-1)^n(x)^n

En considérant que le terme de droite est une suite de raison (-x), et en appliquant la formule de la somme des suites géométriques on obtient ce résulat, mais pensez-vous que c'est la bonne méthode?

[Noemi]

@tletron Bonjour,

Non, l'expression de $U_n$ n'est pas correcte.
Vérifie tes calculs pour la question 1.
$u_0=1$
$u_1=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

....

[tletron]

@Noemi Merci de m'avoir répondu,
cependant je ne vois pas comment exprimer un, est-ce-que c'est une suite arithmétique ou géométrique?

[Noemi]

@tletron

C'est celle de l'énoncé.
$U_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-.....+\frac{(-1{)}^n}{n+1}$

[tletron]

@Noemi Mais quelle est sa raison alors?

[Noemi]

@tletron

Il n'y a pas de raison à cette suite.

[tletron]

@Noemi Et les premiers termes seraient juste
u0=1
u1=1/2
u2=1/3
u3=1/4
u4=1/5 ?

[Noemi]

@tletron

Non
$u_0=1$
$u_1=\frac{1}{2}$
$u_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=....$

[tletron]

@Noemi D'accord je crois avoir compris, mais ca ressemble plus à une somme non?
On a donc:
u0=1
u1=1/2
u2=5/6
u3=7/12
u4=47/60

[tletron]

Et j'ai une dernière question, la question 3 est:
En intégrant de 0 à 1 des fonctions dont on vérifiera qu’elles sont
continues, montrer alors que:
ln(2)-∫de 0 à 1 de (−x)n+1/1 + x dx = un
Pour cette question je trouve le bon résulat grâce à la question2, mais c'est pour la 4 où je bloque:
4) Montrer:
∀n ∈ N, 0 ≤ ∫de 0 à 1 xn+1/1 + x dx ≤ 1/n+2
Si quelqu'un à une idée je suis preneur

[mtschoon]

Bonjour,

@tletron , j'essaie de lire ce que tu écris et vraiment c'est très difficile...! (il serait bon que tu t'entraînes au Latex ou au moins que tu utilises correctement les puissances, les parenthèses,... )

D'après ce que @Noemi a écrit clairement:
$U_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{(-1{)}^n}{n+1}$

Si cela peut t'être utile, je t'indique le but de cet exercice .
C'est de prouver que cette suite $(U_n)$converge (lorsque n tend vers $+\infty$) vers $ln2$
Cela doit être la conclusion de cet exercice.

OK pour les dernières valeurs que tu trouves pour les 5 premiers termes.

Ensuite, ce que tu indiques est bizarre...
Une fois tu écris $(-x{)}^{n+1}$ puis, pour la 4), il s'agit de $x^{n+1}$ ???

D'après ce que tu écris, la 4) serait de prouver que :
$\boxed{0\le {\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx\le \frac{1}{n+2}}$

${\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx\ge 0$ se justifie simplement vu que sur $[0,1]$, la fonction à intégrer est positive.

Reste à prouver que ${\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx\le \frac{1}{n+2}$

Piste pour cela :

Vu que $x$ est compris entre $0$ et $1$, $1+x\ge 1$, donc
$\frac{x^{n+1}}{1+x}\le x^{n+1}$

d'où: ${\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx\le {\int }_0^1{x}^{n+1}dx$

Or, ${\int }_0^1{x}^{n+1}dx=[\frac{x^{n+2}}{n+2}{]}_0^1=\frac{1}{n+2}$

d'où la réponse souhaitée.

REMARQUE :
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{n+2}$ tend vers 0, donc grâce à cet encadrement prouvé, ${\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{1+x}dx$ tend vers $0$
Cela doit t'être utile pour prouver la convergence de la suite $(U_n)$

Regarde tout ça de près.