Suite Devoir maison récurrence

Bonjour,
Je suis bloquée pour la question de cet énoncé.
Merci pour votre aide.

On considère (Un) suivante :
U1=3 et Un+1 = (n*Un+2) / (n+1).

calculer les 5 premiers termes. (C’est ok)
conjecturer l’expression explicite de la suite Un.
démontrer par récurrence
donner les variations de un
montrer que la suite est bornée

@Andrea06480 , bonjour,

Pistes,

J'espère que tu as trouvé :
$U1=3=31U_1=3=\dfrac{3}{1}$

$U2=52U_2=\dfrac{5}{2}$

$U3=73U_3=\dfrac{7}{3}$

$U4=94U_4=\dfrac{9}{4}$

$U5=115U_5=\dfrac{11}{5}$

Tu peux ainsi conjecturer que
$Un=2n+1nU_n=\dfrac{2n+1}{n}$

Essaie de poursuivre et reposte si besoin.

@mtschoon

Merci beaucoup!
Que dois je démontrer par récurrence ? Un ?

@Andrea06480 Bonjour,

Il faut démontrer par récurrence que la relation donnant $U_n$ en fonction de $n$ est correcte.

Pour le raisonnement par récurrence j’arrive à :

On suppose que la propriété est vraie à un certain rang k :
Un= 2k+1 / k

On veut montrer que la propriété est vraie au rang k+1
Un+1= 2k+1 +1 / (k+1)

On a :
Uk = 2k+1 / k et Uk+1 = k*Uk + 2 / (k+1)

Donc Uk =
Et là je bloque car je n’arrive pas à retomber sur Un+1= 2k+1 +1 / (k+1)

@Andrea06480

L'erreur est dans l'écriture de $U_{k+1}$
$Uk+1=2(k+1)+1k+1=2k+3k+1U_{k+1}=\dfrac{2(k+1)+1}{k+1}=\dfrac{2k+3}{k+1}$

Je te laisse poursuivre.

@Noemi
Oui effectivement je l’avais noté comme cela mais j’ai n’arrive pas au bon Uk à la fin

@Andrea06480

$Uk+1=kUk+2k+1U_{k+1}=\dfrac{kU_k+2}{k+1}$
Si tu remplaces $U_k$ par $2k+1k\dfrac{2k+1}{k}$
$Uk+1=2k+1+2k+1=....U_{k+1}=\dfrac{2k+1+2}{k+1}= ....$

@Noemi
Merci beaucoup j’ai réussi à résoudre.

Dernière question :
Pour les variations de Un je dois calculer Un+1-Un
Ce qui me donne :
= 2n+3 / n+1 - 2n+1/n

Comment puis je faire pour tout mettre sur le même dénominateur ?

@Andrea06480

$2n+3n+1−2n+1n=n(2n+3)−(n+1)(2n+1)n(n+1)=.....\dfrac{2n+3}{n+1}-\dfrac{2n+1}{n}=\dfrac{n(2n+3)-(n+1)(2n+1)}{n(n+1)} = .....$

Développe et simplifie le numérateur puis étudie le signe de l'expression.

Bonjour,

@Andrea06480 , j''espère que tu as terminé le calcul de $U_{n+1}-U_n$
Sauf erreur, tu as dû trouver :
$Un+1−Un=−1n(n+1)U_{n+1}-U_n=\dfrac{-1}{n(n+1)}$
Donc $Un+1−Un<0U_{n+1}-U_n\lt 0$ dons $U_n)$ décroissante.

Pour la dernière question, il te suffit d'indiquer un majorant et un minorant.

Vu que la suite est décroissante, $U_1=3$ est un majorant
Vu que la suite est à termes positifs, $0$ est un minorant.

Remarque : J'aurais trouvé heureux qu'il y ait une dernière question sur la convergence de la suite.

$lim⁡n→+∞Un=lim⁡n→+∞2n+3n+1=2\displaystyle\lim_{n\to +\infty}U_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{2n+3}{n+1}=2$

La suite est convergente vers $2$

Bon travail.